極限値

質問

limx->0［xlogx]の極限値
求め方を教えてください。
ロピタルを使うと０となることがわかりますが、
ロピタルを使わない解答をお願いします

回答No.3

proto · ベストアンサー

＃２の方と同じ方法ですが、
　　x = e^(-t)
と置くと
　　lim[x→+0]{x*log(x)} = lim[t→∞]{-t*e^(-t)}
　　　　　　　　　　　　 = lim[t→∞]{-t/(e^t)}

さて、e^tをマクローリン展開すると
　　e^t = 1 +t +(t^2)/2 +(t^3)/6 +...
いまt→∞の極限を考えているからt>0としてよい、すると右辺の項は全て正なので
　　e^t = 1 +t +(t^2)/2 +(t^3)/6 +... > (t^2)/2
よって
　　-t/(e^t) > -2t/(t^2)

　　lim[t→∞]{-2t/(t^2)} ≦ lim[t→∞]{-t/(e^t)} ≦ 0
はさみうちの定理より
　　lim[t→∞]{-t/(e^t)} = 0

お礼

x = e^(-t)とtでなく-t
でないとマクローリン展開が使えない
ということでよいのでしょうか。
ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

x = e~t と
x = e~(-t) の違いは、
マクローリン展開の可否ではなく、
x → +0 が
t → -∞ に化けるか
t → +∞ に化けるかでしょう。
本質的な差はありませんが、
t が正のほうが、式変形はやりやすいかと。

お礼

x = e~t だとはさみうちができなかったのですが
x = e~tのときの式変形がとうなるのか教えてもらえないでしょうか

回答No.2

Tacosan

x=e^t とおくのはダメ?

補足

t->-∞［te^t]となるのか。
この先はどうなるのだろうか

回答No.1

noname#242354

sexu>i=koiju=0