物理学-三角形の微分とベクトル

質問

物理学の問題です。
教科書の章末問題なのですが、まったくわかりません。
解説が載ってなく、やり方を教えていただけないでしょうか？

平面極座標表示では、xy平面上を運動している質点の時間tにおける位置ベクトルr(t)と速度ベクトルv(t)はそれぞれ

r(t)=r(t)Er

v(t)=dr(t)/dt*Er+r(t)*dθ(t)/dt*Eθ

で与えられる。ただし、|r(t)|=r(t)、θ(t)は位置ベクトルとx軸とのなす角、ErとEθ動径方向及び法線方向の単位ベクトルである。

(1)ErとEθをxy直交座標系での単位ベクトルiとjを使って書き示しなさい。

(2)時間tにおける加速度ベクトルα(t)を平面極座標表示で書き示しなさい。

お願い致します。

回答No.1

dame_dame_ · ベストアンサー

(1)曲座標系の単位ベクトルは直交座標系の単位ベクトルを
θだけ回転したものだから
Er=cosθi+sinθj
Eθ=-sinθi+cosθj

(2)(1)を使うと(大文字をベクトル小文字をスカラーとします)
V(t)=dR(t)/dt
=dr/dt*Er+r*dEr/dt
=dr/dt*Er+rd(cosθi+sinθj)/dt
=dr/dt*Er+rEθ*dθ/dt
と確かになっています
(θが時間の関数であることに注意)

αはdV(t)/dtから同じようにして求めます
(計算ちょっと面倒なので略)