空間ベクトル

質問

基準点と２つのベクトル（９０度）から作られる平面があって、空間上に任意の点を取るとき、その点が平面に投影したとすると、その平面に投影された点の座標はどのように求めればいいのでしょうか。

この平面の法線ベクトルは与えられているので、平面の基準点と任意の点からベクトルの大きさと方向を求め任意の点から平面までの距離（任意の点から平面に下ろした垂線の長さ）は求まるのですが、そこから先がどうしたらいいか分かりません。

投影された点の座標はどう求めるのか教えてほしいです。

回答No.3

noname#24477

具体的な形の問題で示してもらえると解答しやすいのですが・・・

一般論として、問題を整理すると
任意の点をＰとしてＰの位置ベクトルが分かっているとき
Ｐを平面に射影した点の位置ベクトルを求めよ、という問題で
平面の法線ベクトルは分かっている。
平面までの距離の求め方は知っている、ということでいいですか？

法線ベクトルを↑ｎとして↑ｅ＝↑ｎ/｜n｜　（ｎと同方向の単位ベクトル）を求めておく。

求める点をＱとすると
↑ＯＱ＝↑ＯＰ±ｋ↑e
ｋはＰから平面までの距離、±にしたのはＰが平面の
どちら側にあるかによって決まるから。
答を２通り求めた後で吟味してもよいし、
↑ＯＰと↑ｎとの内積を計算してみればその値から鈍角、鋭角で判断できます。
具体的な問題で言えば、見ただけでどちらか分かることも
多いと思います。

座標（ベクトルの成分）が分かっていればｘ，ｙ，ｚの
方程式で解くのもいいかもしれません。

回答No.2

Mell-Lily

空間については、ベクトルと方程式の関係を理解していれば、分かりやすいのです。

直線の方程式は、
　(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c.
平面の方程式は、
　ax+by+cz+d=0.
ですね。

一方、ベクトル方程式では、直線は、
　→y=r→c+→d.
平面は、
　→x=p→a+q→b.
です。

一方から、一方への変換はできますか？

回答No.1

kony0

「任意の点」を通り、平面の法線ベクトルに平行な直線を考えて、それと平面の交点をとらえればよいのではないでしょうか？