空間曲線の接線を求める問題がわかりません

質問

次の方程式で与えられる空間曲線がある.

x = acost
y = asint
z = bt

ただしa,bは0でない定数である。0≦t≦2πであるとき、この空間曲線の接線とxy平面の交点が描く曲線の長さを求めよ.

どういったアプローチで解けばよいのかの検討もつかない状態です。
どなたか解説宜しくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

立体的なイメージを把握しやすいように3次元プロットした図を添付しますので参考にしてください。

No1さんが求められた
曲線の接線とxy平面の交点が描く曲線の方程式
で合ってるでしょう。

曲線の接線とxy平面の交点が描く曲線の長さを求めよ.と問題にあるので求めてみます。

>x = acos(t)
>y = asin(t)
>z = bt
>ただしa,bは0でない定数である。0≦t≦2π
a,bは正の定数とした方がいいでしょう。

t=cにおける接線はベクトル形式（媒介変数tを使ったパタメータ表示）の方がわかりやすいでしょう。
(x,y,z)=(acos(t),asin(t),bt)より接線の方向ベクトルは
(dx,dy,dz)=(-asin(t),acos(t),b)dt より (-asin(c),acos(c),c)
t=cにおける接線の媒介変数表示は媒介変数sを用いると
接線：(x,y,z)=(acos(c),asin(c),bc)+s(-asin(c),acos(c),b)
=(acos(c)-sasin(c),asin(c)+sacos(c),bc+bs)
となる。
媒介変数sを消去すれば
接線：-(x-acos(c))/(asin(c))=(y-asin(c))/(acos(c))=(z-bc)/b
となります。

この接線がxy平面の交わる点は
z=bc+bs=0 すなわち s=-cの時であるから
交点(x,y,z)=(acos(c)+acsin(c),asin(c)-accos(c),0)
となります。
この交点がxy平面上で描く曲線は
(x,y)=(acos(c)+acsin(c),asin(c)-accos(c)),(c=0→2π) ...(☆)
cを消去した表現なら
x=acos(c)+acsin(c),y=asin(c)-accos(c)
x^2+y^2=(1+c^2)a^2 ←螺旋
c=√(x^2+y^2-a^2)/a
xの式に代入して
x=acos(√(x^2+y^2-a^2)/a)+(√(x^2+y^2-a^2))sin(√(x^2+y^2-a^2)/a)
と螺旋の式が出てきます。但しこの曲線は全ての実数cに対する曲線になりますので求める0≦c≦2πに対応する範囲の曲線部分になります。

(☆)の式から0≦c≦2πの部分の曲線の長さLを求めると
L=∫[0≦c≦2π]√{(dx/dc)^2+(dy/dc)^2} dc
　=∫[0→2π]√{(accos(c))^2+(acsin(c))^2}dc
　=∫[0→2π] ac dc
　=a[c^2/2][0→2π]
　=2aπ^2
となります。

お礼

丁寧な解説、尚且つ図まで用意してくださりありがとうございます。お陰様で理解することが出来ました。他の皆様も回答有難う御座いました。

回答No.5

info22_

N0.4です。

ANo.4に曲線、接線、接線と平面z=0と交点の軌跡の図の添付を忘れましたので改めて添付します。

回答No.3

naniwacchi

方針としては、以下のような流れかと。
1) 接線の方程式を求める。
2) xy平面（z＝ 0）との交点を求める。
3) 2)で求めた点が 0～ 2πと動いたときの曲線の長さを求める。

1)については、接線の方向ベクトルがどうなるのかを考えてみてください。
3)の積分計算はちょっと知ってないとできない計算になってしまいます。高校数学の範囲だと、置換の仕方がポイントです。

回答No.2

spring135

一様らせんでも対数らせんでもないようです。

ともあれ、らせんの一種でしょう。

回答No.1

spring135

点(acost,asint,bt)における接線の方程式は

(x-acost)/(-asint)=(y-asint)/(acost)=(z-bt)/b=u

すなわち

x=acost-ausint

y=asint+aucost

z=bt+bu

xy平面との交点は

z=0

すなわち

u=-t

x/a=cost+tsint

y/a=sint-tcost

(x/a)^2+(y/a)^2=1+t^2

x^2+y^2=a^2(1+t^2)

時間とともに半径が大きくなっていく。これは円だろうか。

お礼

なるほど、非常にわかりやすく、理解出来ました。ありがとうございます。