どなたか教えて頂けると嬉しいです。

質問

空間曲線

γ（ｔ）＝（ｔ、sinｔ、ｆ（ｔ））

の主法線ベクトル常にxy-平面に平行になるように、関数ｆ（ｔ）を定めよ。

どなたかご回答をお願い致します。

回答No.2

alice_44

前回質問 http://okwave.jp/qa/q7782056.html
もそうでしたが、概念的には簡単でも、計算を実行するのは厄介な
ことがありますね。(前回は、途中で混乱して、答えが出なかった。)
今回は、ちょっと頑張ってみます。少し話を一般化して…

x 座標を媒介変数として表示された曲線
c(x) = (x, y(x), z(x)) があるとする。

この曲線の単位接ベクトル e1 と主法線ベクトル e2 は、
定義により、
c' = (1, y', z'),
k = |c'| = √(1 + (y')^2 + (z')^2),
e1 = c'/k,
e1' = c''/k + c'(-k'/k^2),
t = |e1'|,
e2 = e1'/t
と計算できる。ただし、「 ' 」は　d/dx の意味で使っている。

ちなみに、k の導関数は、
k' = {(1/2)(1 + (y')^2 + (z')^2)^(-1/2)}(0 + 2y'y'' + 2z'z'')
= (y'y'' + z'z'')/k
である。

e2 が xy 平面と平行になる条件は、e1' の z 成分が 0 になること。
(e1' の z 成分) = z''/k - z'k'/k^2
= {z''k^2 - z'(y'y'' + z'z'')}/k^3
= {z''(1 + (y')^2 + (z')^2) - z'y'y''- z''(z')^2}/k^3
= {z'' + z''(y')^2 - z'y'y''}/k^3
=0
すなわち
z'' + z''(y')^2 - z'y'y'' = 0
で、これは、
z''/z' = y''y'/(1+(y')^2)
と整理できる。

両辺を x で積分して、
左辺は ∫{z''/z'}dx = ∫{1/z'}d(z') = log(z') + (定数T1),
右辺は ∫{y''y'/(1+(y')^2)}dx = ∫{y'/(1+(y')^2)}d(y')
= (1/2)∫{1/(1+(y'^2))}d(y'^2) = (1/2)log{1+(y')^2} + (定数T2)
となることより、
log(z') = (1/2)log{1+(y')^2} + (定数T3).
すなわち
z' = (定数T4)√{1+(y')^2}.

これを再度 x で積分すると、
z = (定数A)∫√{1+(y')^2}dx + (定数B)
と書ける。

質問の γ の場合、x = t, y = cos t, z = f(t) だから、
この式が
f(t) = A∫√{1+(-sin t)^2}dt + B
となる。右辺の積分は、よく知られた第2種楕円積分である。
f(t) = A E(t | -1) + B　: A,B は定数

参考↓
http://www.riken.jp/brict/Ijiri/study/Curvature.htm
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E7%A9%8D%E5%88%86#.E7.AC.AC.E4.BA.8C.E7.A8.AE.E5.AE.8C.E5.85.A8.E6.A5.95.E5.86.86.E7.A9.8D.E5.88.86

お礼

ご回答ありがとうございました。とても参考になりました。

回答No.1

noname#171951

ｆ（ｔ）とは？

補足

ｆ（ｔ）　：　関数