根号や２乗が混ざった定積分の計算

質問

以下の定積分がうまく解けません＞＜

∫_0^1 { x +(x^2+1)^(1/2) }^2 dx

答えだけでなく、その答えに至る過程も詳しく教えていただけると幸いです。。

よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

∫_0^1{x+(x^2+1)^(1/2)}^2dx
=∫_0^1(x^2+2x(x^2+1)^(1/2)+x^2+1)dx
=∫_0^1(2x^2+1+2x(x^2+1)^(1/2))dx
=∫_0^1(2x^2+1)dx+2∫_0^1x(x^2+1)^(1/2)dx
=[2x^3/3+x]_0^1+2∫_0^1x(x^2+1)^(1/2)dx
=5/3+2∫_0^1x(x^2+1)^(1/2)dx

ここでx=tan(t)と置換します．dx=dt/cos^2(t),(x^2+1)^{1/2}=1/cos(t)
∫_0^1x(x^2+1)^(1/2)dx
=∫_0^{π/4}{tan(t)/cos(t)}dt/cos^2(t)
=∫_0^{π/4}{sin(t)/cos^4(t)}dt
=-∫_1^{1/√2}d{cos(t)}/cos^4(t)}
=∫_{1/√2}^1du/u^4　(u=cos(t)と置換)
=[-1/(3u^3)]_{1/√2}^1=-1/3+2√2/3

∴∫_0^1{x+(x^2+1)^(1/2)}^2dx
=5/3-2/3+4√2/3=1+4√2/3（答）

お礼

ありがとうございました！
おかげさまで、よく理解できました！

BAは，一番早かったのと、詳しい説明が書かれていたという点から、
ereserve67さんの解答にしたいと思います＾＾

回答No.4

alice_44

三者三様に値が違うが…　1+4(√2)/3 だよねえ。
No.2 も、No.3 も、最下行への行間にミスがある。

お礼

回答ありがとうございます！

やはり、答えは、1+2^(3/2) ではなく、
根号に戻した書き方（1+4(√2)/3）の方が良いんですよね??
時と場合によるかもしれませんけど。。

回答No.3

lastbouzu

∫_0^1 { x +(x^2+1)^(1/2) }^2 dx
=∫_0^1{2x^2+1+2x(x^2+1)^(1/2)dx
=[2/3x^3+x+2/3(x^2+1)^(3/2)]_0^1
=2/3+1+2/3*(2^(3/2)-1)
=1+2^(3/2)

お礼

回答ありがとうございます！
２乗を展開してから、それぞれ積分するんですね。
なんとか理解できました！

回答No.2

bad-boys

{ x +(x^2+1)^(1/2) }^2
=x^2 +2x(x^2+1)^(1/2)+(x^2+1)
=2x^2+1+2x(x^2+1)^(1/2)

∫[0~1] { x +(x^2+1)^(1/2) }^2 dx
=∫[0~1] { 2x^2+1+2x(x^2+1)^(1/2) } dx
=[(2/3)x^3 + (2/3)(x^2+1)^(3/2)]0~1

あとは一人でやって
これができないなら無勉強の自分を恥じてください

お礼

ありがとうございました！
何とかできました＾＾