積分の計算

質問

sqrt(x+2)/xの積分のやり方について教えてください。sqrt(x+2)をｔとおいて積分するらしいですがよくわかりません。計算過程まで教えていただけると助かります。

回答No.2

info22_

sqrt(x+2)=tとおくと
x+2=t^2
dx=2tdt
(t≧0,x=t^2-2≠0,x≧-2)
なので
I=∫sqrt(x+2)/x dx=∫t/(t^2-2) 2tdt=∫ (2t^2/(t^2-2))dt
=∫(2+4/(t^2-2))dt
=2t+sqrt(2)∫(1/(t-sqrt(2))-1/(t+sqrt(2)))dt
=2t+sqrt(2)log|(t-sqrt(t))/(t+sqrt(2))| +C
=2t+sqrt(2)log|(t-sqrt(2))^2/(t^2-2))| +C
=2t+2sqrt(2)log|t-sqrt(2)| -sqrt(2)log|t^2-2| +C
t=sqrt(x+2)を代入してもとの変数にもどすと
I=2sqrt(x+2)+2sqrt(2)log|sqrt(x+2)-sqrt(2)|-sqrt(2)log|x| +C
=2√(x+2)+2(√2)log|√(x+2)-(√2)|-(√2)log|x| +C ...(答え)

回答No.1

spring135

I=∫[√(x+2)/x]dx

t=√(x+2)とおく。 √2

x=t^2-2

dx=2tdt

I=∫[√(x+2)/x]dx=∫[t/(t^2-2)]2tdt=2∫[t^2/(t^2-2)]dt=2∫[1+2/(t^2-2)]dt

1/(t-√2)-1/(t+√2)=2√2/(t^2-2)を用いて

I=2∫{1+[1/(t-√2)-1/(t+√2)]/√2}dt=2{t+(1/√2)log[(t-√2)/((t+√2)]+C

=2t+√2log[(t-√2)/((t+√2)]+C