区分積分法の計算

質問

以下の問題解き方がわかりません。
置換積分で解いてみたら、答えが10になったのですが、
区分積分法では、どのようにといたらよいか思案してます。
わかる方おられましたら、どのように解いたらよいか
解き方を教えていただけないでしょうか？

【問題】
閉区間[1,3]をn等分して得られる分割を考え、
定積分の定義にしたがって(区分求積法を用いて)、次の計算をせよ。

　∫[1→3] (2x+1) dx

【答え】
※2x+1=tとおく置換積分で解いたら10になったのですが、
　　区分求積法の計算方法がわかりません。

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

どこまでわかってどこからわからないのですか？
「区分求積法を用いて計算」の意味が分からないなら、問題を解き始める前に教科書を読みましょう。

区分求積法の一番基本的な公式
　　∫[0→1]{f(x)}dx = lim[n→∞]{n*Σ[k=1～n]{f(k/n)}}
を少し応用するだけで、この問題は解けますよ。
　　∫[1→3]{f(x)}dx = lim[n→∞]{n*Σ[k=1～n]{f(1+2k/n)}}
とすればいいのです。
区分求積法を用いて次の計算をせよ、とあるので∫[1→3](2x+1)dxを右辺の級数の形に直して計算してください。

区分求積法を用いてと書かれているのに、なぜ真っ先に置換積分で解くのか理解に苦しみます。
教科書を読み直す、教科書から類題を探して解いてみる、これも大事な勉強です。

お礼

丁寧な解説、ありがとうございます。
区分求積法自体は知っていましたが、
お恥ずかしい話、不勉強につき、
具体的にどう解けばいいのがわかりませんでした。
それで、自分が得意な置換積分でまず答えを出した次第です。
区分求積法の公式の応用で解けるとのこと、
ご指摘ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

積分は、細かく分けて、足し合わせる、というのが基本です。
なのでn分割した時のk個目（1～n番目）の微小面積を考えて、足しちゃいましょう。

k番目のx座標は（微小面積の左端のx座標）
1 + 2/n * (k-1)
とあらわされます。
なので、k番目の微小面積は、
( 2 * (1+2(k-1)/n) + 1 ) * 2/n

これを足し合わせて、
Σ[k=1～n] ( 2 * (1+2(k-1)/n) + 1 ) * 2/n

これのn→∞の極限を考えればいい。

kを0～n-1番目、微小面積の右端のx番目で考えたりすれば、
lim[n→∞]{ Σ[k=1～n] ( 2 * (1+2(k-1)/n) + 1 ) * 2/n }
lim[n→∞]{ Σ[k=1～n] ( 2 * (1+2k/n) + 1 ) * 2/n }
lim[n→∞]{ Σ[k=0～n-1] ( 2 * (1+2k/n) + 1 ) * 2/n }
lim[n→∞]{ Σ[k=0～n-1] ( 2 * (1+2(k+1)/n) + 1 ) * 2/n }
が考えられます。

お礼

大変丁寧な解説、ありがとうございます。
おかげで、解き方のプロセスが大変よくわかりました。
みなさん、全員に20Pointつけたいのですが、仕組上、つけれないようです。
すみませんが、仕様上、片方にしか20Pointつけれないので、
迷ったのですが、先に回答いただいた方に20Point、
こちらに10Pointとつけさせてもらいました。
すみません。
また、ご指導を仰ぐこともあると思いますが、
その節はよろしくお願いします。