積分の計算です。

質問

積分の計算

∫1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]dx
xは-∞から∞です。 K,Aは定数。
この積分はどうすればいいのでしょうか？
やはり留数計算でしょうか？

ちなみに値はわかっているのですが
∫1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]dx =π/AK
です。

回答No.4

alice_44

違った。
被積分関数が x の -4 乗のオーダーだから、
虚数部分の弧上の積分は r の -3 乗のオーダー
であり、r→∞ で消える。
話は同じだが。

回答No.3

alice_44

被積分関数の分母が実数根を持たないような
A, K であれば(負数でも虚数でもよい)、
複素領域 ｜x｜ ≦ r かつ Re(x) ≧ 0 の
境界を一周する閉路積分の値を留数定理から求め、
r→∞ の極限を計算すればよい。
被積分関数が x の -2 乗のオーダーだから、
虚数部分の弧上の積分は r の -1 乗のオーダー
であり、r→∞ で消える。

回答No.2

info22_

質問です？

>K,Aは定数。
K＞0,A＞0の条件を書き忘れていませんか？

A>0としても問題ないですが、
K=0で発散
K<0で
>ちなみに値はわかっているのですが
>I=∫1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]dx =π/(AK)
とならないようです。
例えば
A=1,K=-2とすると I=π/6≠π/(AK)=-π/2
A=2,K=-8とすると I=π/48≠π/(AK)=-π/16

回答No.1

Ae610

∫(－∞→∞){1/[(K-x^2)^2+A^2x^2]}dx
= 1/√(A^2－4AK)・｛∫(－∞→∞){1/(x^2 + (A^2－2K)/2－√(A^2－4AK)/2)}dx
－∫(－∞→∞){1/(x^2 + (A^2－2K)/2 + √(A^2－4AK)/2)}dx｝
・・・と部分分数にして計算してみたらどうだろう・・・！