数III：積分法とその応用の問題が分りません

質問

自然数nに対してＩn=∫（0→π/2）(sinx)^n dx　とおく。次の問いに答えよ。
（1）定積分　I1 I2 I3を求めよ　
（2）不等式Ｉn≧Ｉ（n+1）を証明せよ
（3）漸化式Ｉ(n+2)={(n+1)/(n+2)}Inが成り立つことを証明せよ
（4）極限値　lim(n→∞)｛Ｉ(2n+1)｝/I2nを求めよ

という問題がわかりません
（1）は自力で解くことができました。
（2）（3）（4）が分りません。
分る方詳しく解答解説よろしくお願いします。

回答No.2

noname#137826 · ベストアンサー

(2)
式: http://tinyurl.com/284naco

0 < x < pi/2 では、(sin x)^n > 0 かつ 1 - sin x > 0 です。つまり上式の被積分関数は正。したがって、

I_n - I_{n+1} > 0

(等号はつかないように思います)

(3)
式: http://tinyurl.com/24tgf7a

部分積分を使っています。最初と最後を比べて、式変形すれば答えになります。

(4)
式: http://tinyurl.com/26volgf

(3)で求めた関係から1行目と2行目が得られます。
それらを辺々割ると3行目です。
3行目の式を次々と小さいnに適用していくと、4行目の式が得られます。
ここまでくれば極限値は求められますね。

回答No.1

f272

(2)
積分しようとしている範囲では0 < sinx < 1なのだから(sinx)^n > (sinx)^(n+1)ということは明らか。
(3)
部分積分する。ウォリスの公式をキーワードにして検索しても可。
(4)
(3)に書いてある式を使えば簡単。