再度、定積分の解き方をご指導お願いします。

質問

次の定積分の問題の解き方がわからなくて困っています。
先に質問したlim[n→∞]( 1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n) ) の
問題は、詳しく教えていただき、
結果がlog 2となることがわかったのですが、
以下の問題をどう変形すれば、提示された関数の形にできるのかわかりません。
同じような質問で申し訳ありませんが、わかる方ご指導おねがいします。

【問題】
()内の関数の定積分と関連させることにより次の極限値を求めよ。

lim[n→∞]( n/n^2 + n/(n^2+1) + … + n/{(n^2+(n-1)-2} )

この関数を適用する→ ( 1/(1+x^2) )

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

gef00675 · ベストアンサー

質問の式を
lim[n→∞]( n/n^2 + n/(n^2+1^2) + n/(n^2+2^2) +… + n/{(n^2+(n-1)^2} )
と推測して、回答します。

各項を
n/(n^2+k^2)= 1/(1+(k/n)^2)*(1/n)　　(k=0,1,...,n-1)
と表し、n→∞の極限に移行して、
lim Σ1/(1+(k/n)^2)*(1/n) = ∫1/(1+x^2)*dx (0≦x≦1)
の右辺の積分を計算すればよい。

この等式の証明も必要だったら、
1/(1+x^2)はx>0で減少関数だから
(k-1)/n≦x≦k/n, (k=1,2,...,n)のとき、
1/(1+(k/n)^2)≦1/(1+x^2)≦1/(1+((k-1)/n)^2),
である。これを(k-1)/n≦x≦k/nの区間で積分しても大小関係は変わらない。
∫dx/(1+(k/n)^2)≦∫dx/(1+x^2)≦∫dx/(1+((k-1)/n)^2),
∴1/(1+(k/n)^2)*(1/n)≦∫dx/(1+x^2)≦1/(1+((k-1)/n)^2)*(1/n),
k=1,2,...,nに渡って足すと、積分区間は0≦x≦1になって、
Σ1/(1+(k/n)^2)*(1/n)≦∫dx/(1+x^2)≦Σ1/(1+((k-1)/n)^2)*(1/n),
最左辺の和の初項と末項を変更して、
Σ[k=1,...,n]1/(1+(k/n)^2)*(1/n)
= {Σ[k=0,...,n-1]1/(1+(k/n)^2)*(1/n)} -1/n + 1/(2n).
最右辺の和のkを一つずらして、
Σ[k=1,...,n]1/(1+((k-1)/n)^2)*(1/n)
=Σ[k=0,...,n-1]1/(1+(k/n)^2)*(1/n),
よって、
∫dx/(1+x^2)≦Σ1/(1+((k-1)/n)^2)*(1/n)≦∫dx/(1+x^2) + 1/(2n)
n→∞の極限に移行すると、
∫dx/(1+x^2) = lim Σ1/(1+((k-1)/n)^2)*(1/n)

お礼

丁寧な回答をいただき、ありがとうございます。
また、お返事が遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
私が教えてほしかった答えそのものズバリです。
大変助かりました。ありがとうございました。

回答No.1

gef00675

どうも最後の項の(n-1)-2が気になります。
確認したいのですが、問題は
lim[n→∞]( n/n^2 + n/(n^2+1^2) + n/(n^2+2^2) +… + n/{(n^2+(n-1)^2} )
ではありませんか？

お礼

ご指摘ありがとうございます。
おっしゃるように、最後のn項は私の写し間違いでした。
大変失礼いたしました。