極限の問題

質問

かなり基礎の問題だと思うんですが、解けません（；；）

(1)ｌｉｍ（ｎ＋１）×（ｎ－２）÷（ｎ＋３）
　ｎ→∞

(2)ｌｉｍ（ｎ＋１）÷（√２ｎ＋１）
　ｎ→∞

(1)(2)の極限がどうして∞になるのかわかりません。
わかりやすく解説して欲しいです。

(3)２のｎ乗＞{ｎ（ｎ－１）}÷２　を用いて、

　ｌｉｍ　ｎ÷２のｎ乗　＝０
　ｎ→∞

　を証明するのですが、解答を見ると、
　２のｎ乗＞{ｎ（ｎ－１）÷２}　の式を変形すると、
　　　２　　　　　　ｎ
　　－－－　＞　－－－－　＞　０
　　ｎ－１　　　２のｎ乗
　と書いてあります。どうやって変形したのか途中の式を
　教えてください。

回答No.3

liar_adan

とりあえず(1)を。
(n+1)(n-2)は、(n+3)(n-4)+10と変形することができます。
すると(n+1)(n-2)/(n+3)={(n+3)(n-4)+10}/(n+3)
=(n+3)(n-4)/(n+3) + 10/(n+3)
=n-4+10/(n+3)
…まあこのように変形していきます。
このうち右の項、10/(n+3)は、nが大きくなればほとんど0になります。
n>0の条件では4以下です。

さて、「無限大になる」というのは、
「どんな大きな数を持ってきても、『nがある数X以上ならもっと大きいよ』と
言えるような数Xを見つけることができる」ということです。(習いましたよね)
たとえば「大きな数」として10000を取ってみると
今変形した式で考えれば、
「n-4+10/(n+3)の第2項、第3項を考えたとしても、
nが10004より大きければ、式の値はぜったい10000よりは大きくなる」
ということが言えます。
これはどんな大きい数を持ってきても、それに対するXを
見つけ出せることはわかるでしょう。
(具体的にはXを「大きな数」+4ととればだいじょうぶ)

こういうのを証明せよと言われた場合は、適当に変形して「大きな数」と
「それに対するXの取り方」の関係を見やすいようにしてやります。
(2)の方はルートが出てくるのでこれよりは難しいけれど、考え方はおなじです。

後半の問題は、単なる分母と分子の移項です。
なお、n<1のとき、変形した方の式は成り立たなくなりますが、
無限大を考えるときは「nの大きい方で考えてよい」という
暗黙の約束があるので、それが省略されていると考えてください。

回答No.2

guowu-x

(1)分母分子をｎで割ると
　(n+1)(n-2)=n^2-n-2より
(n+1)(n-2)/n+3={n-1-2/n}/{1+3/n}
n→∞のとき
2/n→0，3/n→0　そして分子のn-1が無限大になるので極限は∞となります。
(2)　(1)と同様に今度は√nで分母分子を割ると極限は∞になります。
　　　やってみてください。
(3)2^n＞n(n-1)/2から2^n/n-1＞n/2 ここで，2^n＞2なので
2と2^nを入れ替えても大小関係はそのままで2/n-1＞n/2^nが成り立つ。

回答No.1

mmky

参考程度に

(1)ｌｉｍ（ｎ＋１）×（ｎ－２)/（ｎ＋３）
　ｎ→∞
数1,2,3より十分大きな数ｎを考えると、
→lim {ｎ＾2/n}=lim {ｎ}→∞
　　　　　　　　ｎ→∞
記号にとらわれないで、具体的な数を入れてみればいいんです。
n=100, とすれば、
（101)(98)/（103）≒100　
もっと大きな数の場合は、どんどん大きな数のなるよね。

(2)ｌｉｍ（ｎ＋１）÷（√２ｎ＋１）
　ｎ→∞

（２)は式が少し不透明ですが以下で正しいとすると（1）と同じ、
nが1より十分大きいと、
（ｎ＋１）÷（√(２ｎ)＋１）→√ｎ/√2
ｎ→∞、√ｎ/√2→∞

(3)２のｎ乗＞{ｎ（ｎ－１）}÷２　を用いて、
2＾ｎ＞n*(n-1)/2
2*2＾ｎ＞n*(n-1)
{2*2＾ｎ/(n-1)}＞n
{2/(n-1)}＞n/2＾ｎ
lim[n→∞]{2/(n-1)}→0
故　lim[n→∞]{n/2＾ｎ}→0

証明は論理だってさえあればいいんです。
参考程度まで

お礼

記号にとらわれないで、具体的な数を入れてみるとわかりやすくなりました。ありがとうございました★