数列の極限の問題

質問

先日学校で受けた小テストにて次のような回答を示したら間違いをくらいました。

lim (1/n)*(cos nπ/4) (n→∞)の極限値を求めよ。
[(1/n)*(cos nπ/4)のｎを無限大に近づけた時の値という意味です。分かりにくてすいません。]

lim 1/n =0である。
cos nπ/4はｎの値に関係無く　-1≦cos nπ/4≦1をとる
∴ (与式)=0　..
解説でははさみうちの原理を使って解いていました。
この回答がダメな理由は直感的すぎるということでしたが、納得がいきません。この回答は数学的に間違っているのでしょうか？

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

自分で考えた時の判断の根拠を
うまく相手に伝える技術、表現力に欠けるので、
（これも数学の技術の一つ。）
技術不足という理由で
×にしたと思います。

　何が当たり前で、何を書かなくては
ならないかは、そのときそのときで
変わります。

　大学卒なら、
挟み撃ちの原理で明らか
と書けばすむかな。
　高校生なら
その挟み撃ちの原理を使う練習をしてもらう
のが目的ですからそのような採点になるのでしょう。

　あなたの学力が高くて、
ほとんどのことが明らかでも、
先生の学力や要求にあわせてやってください。

補足

では、考え方は間違ってはいないんですよね？
それと次のように書いたら大丈夫ですか？

lim 1/n =0である。
cos nπ/4はｎの値に関係無く　-1≦cos nπ/4≦1をとる
このとき、lim cos nπ/4=tと置く、
但しｔ≠±∞ かつ -1≦ t ≦1
∴（与式)=0*t=0

教科書の例題の書き方に沿って書いてみました。
P.S.質問ばかりで申し訳ないのですが、はさみうちの原理はもっとカッコいい名前はないんでしょうか。
何かちょっとダサい感じがして（笑

回答No.4

kony0

#2さんの解答以外でも
lim|(1/n)*cos(nπ/4)|≦lim|1/n|
で絶対値が０に収束することを示してもOKと思います。
まぁ、#2さんの言っていることとなにが変わるねん！というところでもありますが。^^;

回答No.3

noname#17965

rakkorakkoさんの考え方では１行目の上に以下の式が省略されていると思います。
lim｛(1/n)*(cos nπ/4)｝＝lim(1/n)*lim(cos nπ/4)
これは必ずしも成立しないと思います。古い記憶なので自信ないですが。

回答No.2

uyama33

このとき、lim cos nπ/4=tと置く、

これはだめです。
振動していますので
lim cos nπ/4
は存在しません。
極限値が存在しないのに
　lim cos nπ/4=t
と置いてはいけません。

-1≦cos nπ/4≦1
より、各項をn で割って
-1/n≦(1/n)cos nπ/4≦1/n
ここで、
lim 1/n =0である
から、
lim (-1/n)≦lim (1/n)cos nπ/4≦lim 1/n
より、
０≦lim (1/n)cos nπ/4≦０
となり、
lim (1/n)cos nπ/4＝０
を得る。
です。