数学の論証問題

質問

数学の論証問題の解き方・解答の方針を教えてください。『次のような条件を満たす集合Aがある。
(i)Aの要素は正の実数である。
(ii)Aは少なくとも2つの要素をもつ。
(iii)p∈A、q∈Aでp≠qならば、p/q∈Aである。
このとき、次の(1)、(2)の問いに答えるという問題です。
(1)Aは無数に多くの要素をもつことを示す。
(2)1 ∈A、2 ∈Aであるとき、全ての整数nに対して、2^n ∈Aであることを示す。』

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(1)
Aは少なくとも2つの要素をもつのでそれをp，q(ただしp≠q)として，
p=1でありq≠1であるなら，(2)で示されるようにq^nはAの要素となる。
p≠1でありq=1であるなら，pとqを入れ替えて考えれば上記と同じ。
p≠1，q≠1であるなら，(必要ならpとqを入れ替えて)p/q≠pかつp/q≠qとできる。したがってp，qのどちらとも異なるAの要素p/q(≠1)がある。これを繰り返せばAは無数に多くの要素をもつと言える。
(2)
1∈A，2∈Aであれば1/2∈A
1/2∈A，2∈Aであれば(1/2)/2=1/4∈A
1/4∈A，2∈Aであれば(1/4)/2=1/8∈A
1/8∈A，2∈Aであれば(1/8)/2=1/16∈A
また
2∈A，1/2∈Aであれば2/(1/2)=4∈A
4∈A，1/2∈Aであれば4/(1/2)=8∈A
8∈A，1/2∈Aであれば8/(1/2)=16∈A
以下同様に2^n∈Aが示せる。

回答No.1

tmppassenger

(1)
Aは少なくとも2つの正実数をもつので、0<x<yなるx,y∈Aがある。x≠yである故、x/y∈Aかつy/x∈Aであるが、この時0<x/y < 1 < y/x。
Aが有限集合と仮定すると、Aに属する実数には、最大のものM, 最小のものLがある。0<L≦x/y < 1 < y/x≦Mである。M≠Lである故、L/M∈A。0<L/M<1<Mである故、M≠L/M。従って M/(L/M)∈Aであるが、M/(L/M) > Mである故、MがAに属する最大のもの、という事に反する。

(2)
1/2∈Aとなるから、帰納法により明らか。