高校数学の問題です。

質問

以下の問題について、回答を教えてください。

整式 f(x) は任意の数 x に対して
f(x^2) = (x^3 + 1) f(x + 2) -2(2x^2 + x)(x^2 - 4)
を満たす。次の問いに答えよ。

(1) f(0)、f(2)、f(4)の各値を求めよ。
(2) 整式 f(x) の次数を求めよ。
(3) 整式 f(x) を求めよ。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)
f(x^2),f(x+2)がf(0),f(2),f(4)となるxを考えると
x=0,x=2,x=-2であるから与式にこれらの値を代入してみると
x=2とおくと　f(4)=9f(4) → f(4)=0
x=-2とおくと　f(4)=-7f(0) → f(0)=0
x=0とおくと　f(0)=f(2) → f(2)=0

(2)
(1)より　f(0)=f(2)=f(4)=0
であるから因数定理によりf(x)は x(x-2)(x-4)を因数として持つことが分かる。つまりf(x)の次数は３次以上である。

f(x)=(a*x^(n-3)+…)*x(x-2)(x-4) (n≧3,a≠0) ...(A)とおいて

f(x^2)=(x^3+1)f(x+2)-2(2x^2+x)(x^2-4) ...(B)
の左辺と右辺の各項の最高次の項を調べると
　左辺=ax^(2n)*…
　(x^3+1)f(x+2)=ax^(n+3)+…
　-2(2x^2+x)(x^2-4)=-4x^4+…
左辺の最高次の次数は2n,右辺の最高次の次数はn+3(n≧3)。従って
　2n=n+3 ∴n=3
f(x)の次数は3次である。

(3)
n=3,(A)より
　f(x)=ax(x-2)(x-4) (a≠0) ...(C)
(B)に代入
　ax^2(x^2-2)(x^2-4)=a(x^3+1)(x+2)x(x-2)-2(2x^2+x)(x^2-4)
　ax^6-6ax^4+8ax^2=ax^6-4(a+1)x^4+(a-2)x^3+16x^2+4(2-a)x
恒等的にこの式が成り立つためには
　a=2
(C)に「a=2」を代入して
　f(x)=2x(x-2)(x-4)
あるいは
　f(x)=2x^3 -12x^2 +16x

回答No.5

itoi_mitsugu

(3)はf(x)=2x(x-2)(x-4)であってます。
　　　f(1)=3a=6よりa=2です。
　　　答えを写し間違えてました。

回答No.3

itoi_mitsugu

(1) x=0とおいてf(0)=f(2)
x=2とおいてf(4)=9f(4) よってf(4)=0
x=-2とおいてf(4)=-7f(0) よってf(0)=f(2)=0
(2) 整式の最高次数をnとしたとき
　　左辺の最高次数は２n　右辺はn+3と４のどちらか
　　2n=4とするとn=2でn+3=5となり両辺の次数が異なるので不適
　　2n=n+3とするとn=3で（n+3>4)OK
よって次数は３
(3) (1)よりx＝０、２、４で0となり（２）より3次式なので
　　f(x)=ax(x-2)(x-4)とおける
　　x=-1とすると(-1)^2=1よりf(1)=6 よってf(x)=6x(x-2)(x-4)

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞f(x)ではなく、f(x^2)になっていることと、式の中にf(x+2)が入っているときの
＞処理の仕方がよくわからないので、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
(1)については処理というよりも、xにどのような数字を代入すると
x^2＝ 0や x^2＝ 4、x+ 2＝ 0や x+ 2＝ 4といった値が出てくるかを考えるだけです。

(2)についてですが、たとえば f(x)が 2次式であれば
f(x)＝ ax^2+ bx+ c（a≠ 0）とおくことができます。
このとき、f(x^2)＝ ax^4+ bx^2+ cであり、左辺は 4次式になります。
最高次数が左辺と右辺で等しくなることを考えます。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

(1)は何か使えそうな数字を代入してみてください。
f(0)や f(2)や f(4)がでてきそうな数字です。
ここは試行錯誤になるかもしれませんね。

(2)は f(x)が n次式だったとして、右辺と左辺を比較することを考えます。
厳密に言えば、右辺についてはきちんとした場合分けが必要になります。

(3)ですが、(1)と (2)を組合せて考えることで、あっさりと解けてしまいます。
(1)の結果が出たときに、「これは〇〇〇の〇になっているな」と
気づいていればしめたもんです。

補足

こんばんは。

ご回答いただきどうもありがとうございます。

ただ・・・まだ解くことがでません。。。

f(x)ではなく、f(x^2)になっていることと、式の中にf(x+2)が入っているときの
処理の仕方がよくわからないので、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願い致します。