数学がわかりません

質問

整式P（x）は２次式Q（x）で割り切れないが｛P（x）｝^2はQ（x）で割り切れるとき、Q（x）=0は重解をもつことを示せ。
【考え】
P（x）は２次式Q（x）で割り切れないから
P（x）=Q（x）R（x）＋mx＋n（R（x）は整式、m、nの少なくとも１つは0ではない）
と書ける。

｛P（x）｝^2
=｛Q（x）＋mx＋n｝^2
=Q（x）｛Q（x）R（x）^2＋2（mx＋n）｝
＋（mx＋n）^2
ゆえに｛P（x）｝^2がQ（x）で割りきれるとき、（mx＋n）^2もQ（x）で割り切れる。
従って
（mx＋n）^2
=kQ（x）（kは実数）
と書けて
k≠0のとき
Q（x）
=（mx＋n）^2/k
=0
Q（x）は２次式なのでm≠0、このとき重解x=n/mもつ。…(1)
k=0のとき
0・Q（x）=（mx＋n）^2？？…(2)

(1)でm=0だと重解ではなく解は全ての実数になります。でもQ（x）は２次だから上のように考えましたがおかしいですか？
(2)でQ（x）についての条件は出ません…

どこが間違いなのでしょうか？教えてください

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

特に間違ってはいないようですが。

(1)でm=0だと重解ではなく解は全ての実数になります。

その場合、「 (mx＋n）^2もQ（x）で割り切れる。」が満たされなくなるので、
m ≠ 0です。

(2) はすでに回答がついているようで。

別解として、

Q(x) = a(x - α)(x - β)と置き、α≠βと仮定すると、
P^2(x)は、Q(x)で割り切れるので、(x - α)(x - β)を因数として持ちます。
言い換えると、P^2(x) = 0 は解として、α、βを持ちます。
さらに、P^2(x) = P(x)・P(x) と因数分解できますから、
P^2(x) = 0 の解は、実は、P(x) = 0 の解でもあります。
∵P(α)≠0なら、P^2(α) = P(α)・P(α) ≠ 0

つまり、P(x) は異なる二つの解α，βを持つことになり、これは、
P(x) は Q(x) で割り切れないという仮定に反します。

故に、α = β（重解）です。

回答No.1

Rice-Etude

（１）はこれで良いと思います。

（２）は書き換えると
(mx+n)^2=0
ということで、両辺のルートをとれば
mx+n=0
となります。そうするとokarrlightさんが最初に書いた
P(x)=Q(x)R(x)＋mx＋n
=Q(x)R(x)
となってしまい、P(x)がQ(x)で割り切れることになりますので矛盾となり、よってk=0にはならないとなります。