高校数学の問題です。

質問

pを実数の定数として、２次方程式
x^2-px+p=0 ・・・(*)
がある。

(1)(*)が異なる２つの実数解をもつとき、pのとり得る値の範囲を求めよ。

(2)(*)の２つの解をα、βとおくとき、
A=α^2-4α、B=β^2-4β
とする。
(i)A+B、AB をそれぞれpを用いて表せ。
(ii)AB＜0 となるようなpの値の範囲を求めよ。

(3)pの値が(1)で求めた範囲にあるとき、(*)の２つの実数解 α、βについて、４次方程式
(x^2-αx+α)(x^2-βx+β)=0 ・・・(**)
を考える。
(**)の異なる実数解の個数をpの値によって分類して求めよ。

解説お願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）
（＊）の判別式
ｐ＾２－４ｐ＞０
とおくとｐ＜０、４＜ｐ

（２）
まず、α、βが（＊）の解であることから、α＋β＝ｐ、αβ＝ｐ　です。
Ａ＋Ｂ＝α＾２－４α＋β＾２－４β
　　　＝α＾２＋β＾２－４（α＋β）
　　　＝（α＋β）＾２－２αβー４（α＋β）
　　　＝ｐ＾２－２ｐ－４ｐ
　　　＝ｐ＾２－６ｐ

ＡＢ＝（α＾２ー４α）（β＾２－4β）
　　＝α＾２β＾２－４α＾２βー４αβ＾2＋１６αβ
　　＝（αβ）＾２－４αβ（α+β）＋１６αβ
　　＝ｐ＾２－４ｐ＾２＋１６ｐ
　　＝－３ｐ＾２＋１６ｐ

ＡＢ＝－３ｐ＾２＋１６ｐ
　　＝－ｐ（３ｐ－１６）
なのでＡＢ＜０を満たすｐの範囲は
０＜ｐ、１６／３＜ｐ

（３）
ｘ＾２－αｘ＋α＝０、ｘ＾２－βｘ＋β＝０の判別式はそれぞれＡ，Ｂと等しくなります。ここで
ｐが（１）の範囲で変化した場合のＡＢ、およびＡ＋Ｂの符号を調べると

　　　　　　　　　　　Ａ＋Ｂ　　　ＡＢ
ｐ＜０　　　　　　　　＞０　　　　＜０
４＜ｐ＜１６／３　　　＜０　　　　＞０
ｐ＝１６／３　　　　　＜０　　　　＝０
１６／３＜ｐ＜６　　　＜０　　　　＜０
ｐ＝６　　　　　　　　＝０　　　　＜０
ｐ＞６　　　　　　　　＞０　　　　＜０

　このうち、ＡＢ＜０となるとき、つまりｐ＜０の場合ＡとＢは異符号、つまり片方が正、片方が負なのでｘ＾２－αｘ＋α＝０、ｘ＾２－βｘ＋β＝０は片方が異なる二つの実数解を持ち、片方が実数解なしとなります。この場合（＊＊）の異なる実数解は２個となります。
　次にＡＢ＞０のとき、つまり４＜ｐ＜１６／３のときＡとＢは同符号で、Ａ＋Ｂが負なのでＡ，Ｂは両方とも負になります。このとき（＊＊）は実数解を持ちません。
　さらにＡＢ＝０の場合、つまりｐ＝１６／３の場合Ａ＋Ｂが負なので片方が負、片方がゼロになります。このとき（＊＊）は実数解を一つ持ちます。