二次関数で質問があります。

質問

図のように、関数ｙ＝1/2x^2、y=1/3x^2、y=ax、y=(a＋１)xのグラフが点O、A、B、C、Dで交わっている。
次の問いに答えなさい。
ただし、a>０とする。

（１）直線ACの傾きが２であるとき、△OACの面積を求めなさい。
（２）直線BDの傾きが２であるとき、四角形ABDCの面積を求めなさい。

（１）は解けたんですが（２）のとき方で疑問があります。

△OACの面積は3/2
直線CAと直線DBは平行
OC：ODはCの座標（３、9/2)、Dの座標(9/2,27/4)
より、3：9/2
△OAC：△OBD＝OC：OD
3/2:?=3:9/2

△OBD=9/4
△OBD－△OAC＝9/4－3/2=3/2

答えは間違えています。
この考え方のどこが間違えているのでしょうか？

教えてください。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞図のように、関数ｙ＝1/2x^2、y=1/3x^2、y=ax、y=(a＋１)xのグラフが点O、A、B、C、Dで交わっている。
＞次の問いに答えなさい。
＞ただし、a>０とする。

＞直線CAと直線DBは平行
が成り立つかどうかは、この問題文だけでは分からないので、
平行と考えたことが間違いだと思います。

別の解き方でやってみます。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの座標を求めます。
Ａは、(1/2)ｘ^2＝ａｘ，Ｂは、(1/3)ｘ^2＝ａｘとおいてｘ座標を求め、ｙ座標も求めると、
Ａ（２ａ，２ａ^2），Ｂ（３ａ，３ａ^2）
Ｃは、(1/2)ｘ^2＝（ａ＋１）ｘ，Ｄは、(1/3)ｘ^2＝（ａ＋１）ｘとおいて同様にして、
Ｃ（２（ａ＋１），２（ａ＋１）^2），Ｄ（３（ａ＋１），３（ａ＋１）^2）

＞（１）直線ACの傾きが２であるとき、△OACの面積を求めなさい。
ＡＣの傾き＝｛２（ａ＋１）^2－２ａ^2｝／｛２（ａ＋１）－２ａ｝
＝（４ａ＋２）／２＝２ａ＋１＝２より、ａ＝１／２だから、
Ａ（１，1/2），Ｃ（３，9/2）
Ａからｘ軸へ、Ｃからｘ軸へおろした垂線の足をＡ'，Ｃ'とすると、
△ＯＣＣ'＝(1/2)×３×(9/2)＝27/4
△ＯＡＡ'＝(1/2)×１×(1/2)＝1/4
台形ＡＡ'Ｃ'Ｃ＝(1/2)×（1/2＋9/2）×（３－１）＝５
よって、
△ＯＡＣ＝△ＯＣＣ'－△ＯＡＡ'－台形ＡＡ'Ｃ'Ｃ
＝(27/4)－(1/4)－５＝３／２

＞（２）直線BDの傾きが２であるとき、四角形ABDCの面積を求めなさい。
ＢＤの傾き＝｛３（ａ＋１）^2－３（ａ＋１）｝／｛３（ａ＋１）－３ａ｝
＝（６ａ＋３）／３ー２ａ＋１＝２より、ａ＝１／２だから、
Ｂ（3/2，3/4），Ｄ（9/2，27/4）
後は、（１）と同様にして△ＯＢＤの面積を求める。
Ｂからｘ軸へ、Ｄからｘ軸へおろした垂線の足をＢ'，Ｄ'とすると
△ＯＤＤ'＝(1/2)×(9/2)×(27/4)＝243/16
△ＯＢＢ'＝(1/2)×(3/2)×(3/4)＝9/16
台形ＢＢ'Ｄ'Ｄ＝(1/2)×（3/4＋27/4）×（9/2－3/2）＝45/4
これらから、
△ＯＢＤ＝△ＯＤＤ'－△ＯＢＢ'－台形ＢＢ'Ｄ'Ｄ
＝(243/16)－(9/16)－(45/4)＝２７／８
よって、
四角形ＡＢＤＣ＝△ＯＢＤ－△ＯＡＣ
＝（２７／８）－（３／２）＝１５／８

でどうでしょうか？図を描いて確認してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。
答えあっています。
すいません。いまは見る力が残っていないので後で見てます。
返事が遅くなり申し訳ありません。

回答No.4

KEIS050162

＃２です。

大失敗。

相似の三角形の面積の比の考え方でよいのですが、辺の比の二乗にしなければいけないことを、すっかり失念してしまいました。

訂正：
OC　：　OD　＝　３　：　９／２　＝　２　：　３
なので、△OAC　：　△OBD　＝　４　：　９

これで再計算すれば、＃３さんの答えと一致するはずです。

お礼

回答ありがとうございます。
返事が遅くなり申し訳ありません。

回答No.2

KEIS050162

考え方は合っていると思います。

１）　で傾き２　になる時の　ａ　と、　２）　で傾き２　になる時の　ａは同じになるので、ＡＣとＢＤは並行になりますので、以下は質問者殿の相似の三角形の面積の考え方でいいと思います。
１）の計算も合っています。

ただ…

＞△OBD－△OAC＝9/4－3/2=3/2

３／４　では？　（もったいない…）

もっと簡単に言えば、三角ＯＢＤ　と　△ＯＡＣ　は、３：９／２　＝　２：３　なので、この差の残った部分の四角形ＡＢＣＤは、１に相当することが分かります。

なので　△ＯＡＣ　÷　２　でも良いと思います。

ご参考に。

回答No.1

Tacosan

「直線CAと直線DBは平行」なの?

お礼

回答ありがとうございます。