三角比がわかりません。助けてください。

質問

僕が分からないのは、θが0度、90度、180度の時、それぞれの三角比が
sin0°＝0、cos0°＝1、tan0°＝0
sin90°＝1、cos90°＝0、tan90°の値は定義されない。
sin180°＝0、cos180°＝-1、tan180°＝0
となることがさっぱりイメージが湧きません。
先生に聞いたところ「定義だから」と言われました。
数学的な根拠が知りたいです。お願いします。

回答No.3

noname#69061

単位円を使って考えます。単位円はわかりますよね？

sinは，ｘ軸に平行な直線を引き，ｙ軸との交点，cosはｙ軸に平行な直線を引きｘ軸との交点がそれぞれの値となります。
sin0°，180°の場合は，0°，180°の場所(x,y)＝(1,0)(-1,0)を通るｘ軸に平行な直線を引きますから，ｘ軸と重なる直線になります。よって，sin0°＝sin180°＝０です。
sin90°の場合，90°の場所(x,y)＝(0,1)の点を通り，ｘ軸に平行な直線を引きますから，y＝１という直線になります。よって，sin90°＝1です。

cosは，ｙ軸に平行な直線ですが同様です。

tan90°の値は定義されないというのは，tan＝sin／cosであるからです。cos90°＝０より，分母が０というのは数学的に定義されていないので定義なしなんです。

分かりにくかったらすいません。

回答No.2

R_Earl

ANo.2です。

> cosのところが高さが斜辺でよりしいでしょうか。

ごめんなさい。その通りです。
「cosは底辺/斜辺なので、底辺 = 斜辺からcos0° = 1」
ですね。

回答No.1

R_Earl

> 僕が分からないのは、θが0度、90度、180度の時、それぞれの三角比が
> sin0°＝0、cos0°＝1、tan0°＝0
> sin90°＝1、cos90°＝0、tan90°の値は定義されない。
> sin180°＝0、cos180°＝-1、tan180°＝0
> となることがさっぱりイメージが湧きません。

θが0°の直角三角形ってどんな形になると思いますか？
斜辺と底辺がくっついて(斜辺と底辺が同じ長さ)、
高さが0の直角三角形になりませんか？

sinは高さ/斜辺なので、高さ = 0からsin0° = 0
cosは底辺/高さなので、底辺 = 高さからcos0° = 1
tanは高さ/底辺なので、高さ = 0からtan0° = 0となります。

90°に関しても同じです。

> 数学的な根拠が知りたいです。お願いします。

大雑把に言うと、0°や90°、それから90°以上の三角比は
「xy平面上に半径1、中心座標(0, 0)の円を描き、その円周上のx座標をcosθ、y座標をsinθとする」
と定義されています。
120°の直角三角形は描けないから、直角三角形でsin、cos、tanを作るのはやめ、
代わりに円を使って新しいsin、cos、tanを作ったんです。
直角三角形による定義ではないので、「直角三角形を使って納得のいく説明をする」
というのはやや難しいと思います。
数IIの三角関数の分野で、この話が出るかもしれません。

お礼

ありがとうございました。＾＾

補足

cosのところが高さが斜辺でよりしいでしょうか。