三角比の式の値

質問

赤チャート１Aをしています
次の問題の途中がわかりません
0°≦θ≦180°でsinθ+cosθ=√3/2のとき次の式の値を求めよ
(３)tanθ
解法　0°≦θ≦180°から0≦sinθ≦1・・・(1)
sinθ+cosθ=√3/2・・・(2)
(2)からcosθ=√3/2－sinθ・・・(3)
(3)をsin^2θ+cos^2θ＝１に代入して整理すると
4sin^2θ-2√6sinθ+1=0
これを解くとsinθ=√6±√2/4これは(1)を満たす

ここまでの
(3)をsin^2θ+cos^2θ＝１に代入して整理すると
4sin^2θ-2√6sinθ+1=0
これを解くとsinθ=√6±√2/4これは(1)を満たす
の部分がよくわかりません　

どなたか詳しい式を解説してください
回答お願いします

回答No.3

debut

No2です。
＞これはなんで２をかけるんですか？

　別にかけなくてもいいのですが、2sin^2θ-√6sinθ+1/2=0の項の中に
　1/2という分数が入っていて、やりにくいと思っただけで、深い意味
　は特にないです。まあ、習慣のような感じですか。

回答No.2

debut

√3/2は√(3/2)ということなんですね？
√(3/2)は√6/2と分母を有理化しておきます。
代入して、
sin^2θ+(√6/2-sinθ)^2=1
sin^2θ+6/4-√6sinθ+sin^2θ-1=0
2sin^2θ-√6sinθ+1/2=0
2をかけて
4sin^2θ-2√6sinθ+1=0
解の公式で、∴sinθ=(2√6±√8)/8=(√6±√2)/4
√6は約2.45、√2は約1.41とすれば
(2.45+1.41)/4=0.965＜1,(2.45-1.41)/4=0.26＜1

という回答でいいですか。

お礼

回答ありがとうございました

補足

追記質問ですが
>>2をかけて
4sin^2θ-2√6sinθ+1=0

気になったので質問しますがこれはなんで２をかけるんですか？

公式には載ってなかったと思うんですが以前も似たような解法がありました

このような時には２をかけるものなんですか？

最後に数学に関しての質問ですが
数学は公式を使って解きますが
公式では完全に解けない時にこのような方法をとるのでしょうか？

回答No.1

DN7

x=sinθとして式を書き換えてみてください。よく見る式になりませんか。これをxについて解いて解を求めます。(√6±√2)/4 の値を実際に計算してみてください。(1)の式と矛盾がありますか？

お礼

回答ありがとうございました