三角比の問題

質問

問.ｔａｎθ＝１/３のとき、（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＾２の値として、次のうち正しいのはどれか？

上記のような問がありますが、回答の方を見ると
（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＾２＝｛ｃｏｓθ（ｔａｎθ＋１）｝＾２
　　　 　　　　　　＝ｃｏｓ＾２θ（ｔａｎθ＋１）＾２
　　　　　　　　　　　　＝（ｔａｎθ＋１）＾２/ｔａｎ＾２θ＋１
と変形できると書いてあるのですが、どうやって変形こんな風に変形できるのかよくわかりません。分かる方いたら教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

No1です。
＞sinθ+cosθ=cosθ×{(sinθ+cosθ)をcosθで割ったもの}と考えて

　を式で正しく書くと、
　　sinθ+cosθ=(cosθ/cosθ)×(sinθ+cosθ)
　　　　　　　=cosθ×{(sinθ/cosθ)+(cosθ/cosθ)}
　　　　　　　=cosθ×(tanθ+1)
　です。
　また、1+tan^2θ=1/cos^2θ　の部分は、普通は tan^2θ+1=1/cos^2θ
　です。自分のくせで、1を先に書いてしまいました。
　よって、最後の形も (tanθ+1)^2/(tan^2θ+1) と書くべきでした。
　ごめんなさい。

回答No.1

debut

sinθ+cosθをcosθで割ると、sinθ/cosθ+cosθ/cosθ=sinθ/cosθ+1=tanθ+1
なので、sinθ+cosθ=cosθ×{(sinθ+cosθ)をcosθで割ったもの}と考えて
いるのですね。

したがって、
(sinθ+cosθ)^2={cosθ(tanθ+1)}^2
　　　　　　　=cos^2θ(tanθ+1)^2
ここで、1+tan^2θ=1/cos^2θ　から、cos^2θ=1/(1+tan^2θ)なので
　　　　　　　=(tanθ+1)^2/(1+tan^2θ)
となります。

※1+tan^2θ=1/cos^2θはsin^2θ+cos^2θ=1をcos^2θで割って得られる公式