微分で体積の最大値を求めなければなりません。

質問

微分の考えを用いて直円錐台に内接した円柱の体積が最大になる円柱の円の半径を求めなければならないのですが、どうしても解決への糸口が見つかりません。
何か解決への糸口となるアドバイスをいただけませんか？

この問題の全文はこちらです↓

・高さがｈ、上底の半径がa、下底の半径がｂの直円錐台がある。ただし、a＜ｂであり、直円錐台とは直円錐の頭部を底面に平行な平面で切り取ったものである。この中に、半径がrの直円柱を内接させよう。その際、円柱の軸は直円錐台の軸と一致し、下底は直円錐台の下底にあり、上底は直円錐台の側面に接するものとする。円柱の半径rがa≦ｒ＜ｂの範囲で変化するとき、円柱の体積Vが最大となるｒを求めよ。

です。
一応この直円錐台の写真も添付しましたので、参考にしてください。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

・高さがｈ、上底の半径がa、下底の半径がｂの直円錐台がある。ただし、a＜ｂであり、直円錐台とは直円錐の頭部を底面に平行な平面で切り取ったものである。この中に、半径がrの直円柱を内接させよう。その際、円柱の軸は直円錐台の軸と一致し、下底は直円錐台の下底にあり、上底は直円錐台の側面に接するものとする。円柱の半径rがa≦ｒ＜ｂの範囲で変化するとき、
＞円柱の体積Vが最大となるｒを求めよ。
底面の半径がａ，ｒ，ｂ（a≦ｒ＜ｂ）の円錐として考えます。
直円錐の軸にそって、底面に垂直になるように切った切り口の三角形で、
片側の直角三角形が相似であることから求めます。
頂点から半径ａの底面までの高さをｘとすると、
直角三角形の相似から、ａ：ｂ＝ｘ：（ｈ＋ｘ）より、
ｂｘ＝ａ（ｈ＋ｘ）
（ｂ－ａ）ｘ＝ａｈより、ｘ＝ａｈ／（ｂ－ａ）
求める円柱の高さをｈ1とすると、
半径ｒの底面の三角形の高さ＝ｈ＋ｘ－ｈ1だから、
ａ：ｒ＝ｘ：（ｈ＋ｘ－ｈ1）
ｒｘ＝ａ（ｈ＋ｘ－ｈ1）
ａｈ1＝ａｈ＋（ａ－ｒ）ｘ
＝｛ａｈ・（ｂ－ａ）＋（ａ－ｒ）・ａｈ｝／（ｂ－ａ）
＝（ｂ－ｒ）・ａｈ／（ｂ－ａ）より、
ｈ1＝（ｂ－ｒ）ｈ／（ｂ－ａ）
円柱の体積Ｖ（ｒ）＝πｒ^2×ｈ1
＝πｈ（ｂ－ｒ）・ｒ^2／（ｂ－ａ）
Ｖ'（ｒ）＝｛πｈ／（ｂ－ａ）｝・ｒ（２ｂ－３ｒ）＝０より、
ｒ＞０より、ｒ＝２ｂ／３
増減表より、０＜ｒ＜２ｂ／３で、Ｖ'（ｒ）＞０，２ｂ／３＜ｒ≦ｂで、Ｖ'（ｒ）＜０だから、
ｒ＝２ｂ／３で、極大かつ最大
よって、円柱の体積Vが最大となるｒは、ｒ＝２ｂ／３

でどうでしょうか？　図を描いて考えてみて下さい。