体積の最大値

質問

半径aの球に内接する直方体の、体積が最大となるときの体積の求め方を教えてください。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

図を描いてみれば明らかですが、球に内接する直方体の「対角線」（という表現が適切かどうかはわかりませんが、直方体のある頂点と直方体の面を共有していない、ただ一つの頂点を結んだ線分のことです）がその球の直径に等しくなります。

直方体の「対角線」の長さは、直方体の3辺の長さをx,y,zとすると、√(x^2+y^2+z^2)で、直方体の体積はxyzですので、この問題は、√(x^2+y^2+z^2)=2a （一定）つまり、x^2+y^2+z^2=4a^2(一定）のときxyzの最大値とこれを与えるx,y,zの値を求める（ただしa>0,x>0.y>0,z>0)ことに他なりません。

これは「ラグランジュの未定乗数法」の3変数の場合の例題のような問題で、これを使えば簡単に解けます。ただしこれは高校の数学の範囲ではないでしょうから、ここでは図形の性質を活用して１変数で解いてみました。

球に内接する直方体の高さをひとまず一定として考える。直方体の底面を含む平面と球との交線は円であり、直方体の底面はこれに内接する長方形である。直方体の体積は底面積と高さの積だから、高さが一定の場合体積が最大となるのは底面積が最大となる場合である。円に内接する長方形で面積が最大となるのは正方形だから、題意を満たす直方体の場合も底面は正方形である。

添付した図の左側は球の下方から見た図、右側は正面から見た図である。直方体は球面と上下の底面の各頂点（合計8か所）で内接している。
この直方体の下底面である正方形ABCDの1辺の長さをx、直方体の高さをhとすると、三角形OBEにおいて（点Oは球の中心、点Eは下底面上で底面の正方形の中心）三平方の定理から(x/√２)^2+(h/2)^2=a^2 　　 h^2=4a^2-2x^2 　　 h=√(4a^2-2x^2)

直方体の体積をf(x)とすると、f(x)=x^2・h=x^2・√(4a^2-2x^2) =√(4a^2・x^４-2x^6)　ここで g(x)=(4a^2)・x^４-2x^6 とおくと、f（x）の最大値を与えるxの値はg(X)の最大値を与えるxの値と一致する。g'(x)=(16a^2)x^3-12x^5=0 を解くと
x^3((16a^2-12x^2)=0 x>0 だから　x=（2√３/3）a
0<x<（2√３/3）a のときg'(x)>0、x=（2√３/3）aのときg'(x)=0、x>（2√３/3）a のときg'(x)<0　だから
x=（2√３/3）aのとき、g(x),f(x)は最大値をとり、f（2√３/3）a＝(8√3/9)a^3 である。

答え　半径aの球に内接する直方体で、体積が最大となるのは、１辺が(2√３/3)aの立方体のときで、体積は(8√3/9)a^3

回答No.1

ferien

＞半径aの球に内接する直方体の、体積が最大となるときの体積の求め方を教えてください。

半径x（0＜x＜a）の円に内接する直方体の底面を考えると、
底面の面積が最大になるのは正方形になるとき。

（上の半円に対して、直径を底辺とした三角形の面積を考えると、
　高さは円の中心を通るときが最大だから、そのとき、面積が最大で、直角二等辺三角形。
　直径と対角線は一致するから、2倍すると正方形になる。）

上の直角二等辺三角形で、底辺（円の直径＝正方形の対角線）2xで、等辺が正方形の1辺だから、
正方形の１辺＝2x/√2＝√2x　とおける。

直方体の高さを求めるために、
底面の正方形の対角線と球の中心を通る面で切った切り口の長方形を考える。
正方形の対角線がこの長方形の横の長さ＝2xで、長方形は半径aの円に内接している。

円の中心を通るように、長方形の横に平行な直線、縦に平行な直線を引くと、
長方形が４等分になるので、例えば、右上の部分について考えます。
斜辺がa，１辺がx（横の長さの半分）の直角三角形があるので、
他の１辺は、√(a^2－x^2)
他の１辺の2倍がこの長方形の縦の長さで、直方体の高さになります。
だから、直方体の高さ＝2√(a^2－x^2)

直方体の体積V(x)とすると、
V(x)＝√2x・√2x・2√(a^2－x^2)＝4x^2√(a^2－x^2)
V'(x)＝4{2x・√(a^2－x^2)＋x^2・(1/2)(a^2－x^2)^(-1/2)・(-2x)}
＝4{2x√(a^2－x^2)－x^3(1/√(a^2－x^2)）}
＝4x{2(a^2－x^2)－x^2}/√(a^2－x^2)
＝4x(2a^2－3x^2)/√(a^2－x^2)
V'(x)＝0とおくと、0＜x＜aより、√(a^2－x^2)＞0だから、
2a^2－3x^2＝0，　x^2＝2a^2/3，　x＝(√6/3)a

0＜x＜aで増減表をつくると、
0＜x＜(√6/3)a　のとき、V'(x)＞0，　(√6/3)a＜x＜aのとき、V'(x)＜0
だから、x＝(√6/3)aのとき、極大かつ最大
V((√6/3)a)＝4・(2a^2/3)・√{a^2－(2a^2/3)}
＝4・(2a^2/3)・(√3a/3)
＝(8√3/9)a^3

よって、直方体の体積の最大値＝(8√3/9)a^3

図をかいて考えてみてください。