次の問題なのですが。

質問

次の問題なのですが。

　高さがｈ,半径がｒの円錐がありこの中に円柱Ｌが内接している。

(1)この円柱Ｌの体積をＶ1とするとき、Ｖ1の最大値を求めよ。

(2)さらにこの円柱の上にできたスペースにもう１個小さい円柱が内接している。この体積をＶ2とするとき、Ｖ1＋Ｖ2の最大値を求めよ。

　１番はまず、円柱の半径と高さをそれぞれａとｂで表し、断面の三角形の相似の関係からａをｂで表し、Ｖ1＝πａ^2ｂ2代入しました。そしてこれがｂの３次式にあるので微分をして最大値を求めました。その結果ｂ＝ｈ/3となり、体積は（４/27）πｒ^2ｈとなりました。

　２番はまず、１番と同様に小さい円柱の半径をｃ,高さをｄとおき、円柱の高さが円錐の１/３になる事を利用して同じように相似の関係からｃとｄをｂで表しました。その結果Ｖ1＝Ab（h－b）^2＋，Ｖ2＝（４/81）A（h－b）^３となりました。（Ａ＝πr^2/h^2）です。）

Ｖ1＋Ｖ2を微分して整理すると、
（Ｖ1＋Ｖ2）´＝（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋46h^2）

因数分解は見つからなかったので解の公式でだして
ｂ＝(23/77)h

となり、体積は

（972/5929）πr^2h

というとんでもない数になりました。もっと簡単な数のなると思うのですが、解の公式でルートかちゃんと取れるのであっているのかなとも思います。でもこれだけ数が大きいとやっぱり怪しいです。計算間違いや考え方が間違っているのかなと見直しましたが間違っていません。だれか解いて下さい。よろしくお願いします。長くて本当にすいません。

回答No.4

oshiete_goo

＃２ですが，後半も＃１さんのご回答通りが正しくて，＃２はV2の議論で係数を誤っていて(たまたま質問者さんとは一致)誤りでした．お詫びして撤回させて下さい．
混乱させて申し訳ありませんでした．

eatern27さんの＃１の(2)のご回答どおり
a=18/23r のときに
max(V1+V2)=(108/529)πr^2h
です．

回答No.3

eatern27

#1です。
V2は（４/81）A（h－b）^３にはならないと思います。

#1で私が書いた、(4/27)πr^2hでもいいですが、別の方法で求めるのなら、

(1)のV1と(2)のV2の相似比がｈ：(h-b)であるから、
体積比はh^3：(h-b)^3
V2＝(4/27)πr^2h *(h-b)^3/h^3＝(4/27)A(h-b)^3となります。

それから、先ほど、
＞正しくは
＞（Ｖ1＋Ｖ2）´＝（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋23h^2）
と書きましたが、これは、V2＝(4/27)A(h-b)^3となるのを前提としています。
でも、もしＶ2＝（４/81）A（h－b）^３であったとしても、（Ｖ1＋Ｖ2）´＝（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋46h^2） にはならなそう・・・。
そもそも（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋46h^2）＝0は解なしでは?

回答No.2

oshiete_goo

質問者さんの解釈と答案どおりで正しく出ているのではないでしょうか．

［ひょっとして，元の問題がV1の最大値のときに円柱を固定して次にV2を動かしてV2の最大値を求めるという話ならば，元と相似で，残りの円錐の高さ1／3，半径2／3で，和の最大値V1＋V2＝(140/729)πr^2h などとなりそうですが，これでは面白くないので多分違っているのでしょう．
でも間抜けな問題ならばこれかも．]

なお，計算においては，1－(b/h)＝t　などとおいて，ｔを主役にしてなるべく無次元量で書く(a/rやb/hの比の値に着目)，あるいはいっぺん立式してから書き換えるなどして，
πr^2hの部分を括ってしまって残りの数係数の部分のみを計算していくと比較的楽で，t=54/77で最大（すなわちｂ＝(23/77)h）です．

お礼

ありがとうございます。やっぱりｂ＝(23/77)hなんですね。
＞なお，計算においては・・・
ありがとうございます。これから努めてそうしていきます。

回答No.1

eatern27

(1)
円柱Lの底面の半径をa,高さをbとすると、
r:h=(r-a):bであるから、b=h(r-a)/r
V1＝πa^2b＝πa^2h(r-a)/r
f(a)=a^2(r-a)とすると、
f'(a)=-3a^2+2ar=-a(3a-2r)
なので、a>0であることから、f'(a)=0⇔a=2r/3 (この時、b=h/3)
増減表より、maxV1=(4/27)πr^2h

(2)
V1の底面の半径がa,高さがbの時に
(1)と同様に
maxV2=(4/27)πa^2(h-b)
＝(4/27)πa^3h/r (∵b=h(r-a)/r)
V1＋maxV2＝πa^2h(r-a)/r＋(4/27)πa^3h/r＝πa^2h{r-(23/27)a}/r
g(a)＝a^2{r-(23/27)a}とすると、
g'(a)＝2ar-(23/9)a^2＝-a{(23/9)a-2r}
a>0より、g'(a)=0⇔a=18/23r
増減表より、
max(V1+V2)=(108/529)πr^2h

だと思います。

＞Ｖ1＝Ab（h－b）^2＋，Ｖ2＝（４/81）A（h－b）^３となりました。
とありますが、V2は(4/27)πa^2(h-b)になりませんか？
(1)の答えの(4/27)πr^2hの
rをaに,hを(h-b)にするだけだと思うので。
もしかしたら、私の計算が間違っているのかもしれません。
Ｖ2＝（４/81）A（h－b）^３
が正しいのなら、（972/5929）πr^2h であっています。

ちなみに、計算結果はあっているようですが、
＞（Ｖ1＋Ｖ2）´＝（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋46h^2）
正しくは
（Ｖ1＋Ｖ2）´＝（１/27）Ａ（77b^2－100hb＋23h^2）
ですね。これは(h-b)で因数分解できます。
V1もV2も(h-b)^2の項があるため、bで微分すると、(h-b)で因数分解できる事が分かります。従って、(V1+V2)もbで微分して、(h-b)で因数分解できなければ、間違いということになります。

長々とすいませんでした。

お礼

どうもこんな長い計算を解いて下さってありがとうございます。これをもとにもう一回考えてみたいと思います。