高校、微分、図形と変域

質問

参考書に「図形的意味から定まるxの変域を明示しておくことが大切」と書いてあるのですが、どうやってその変域を判断するのかがよくわかりません。
例えば、

問：半径rの球に内接する直円錐の体積の最大値を求めよ
答：(32/81)π(rの3乗)
求め方：球に内接する直円錐の頂点をA、球の中心をO、底面の中心をH、底面の円周上の1点をBとおく。
ここで、AH=r+x とおくと、xの変域は
-r＜x＜r ・・・(1)
直円錐の体積をVとおくと、
V=(π/3)*BH*BH*AH=(π/3)*f(x)
あとは、f(x)を微分して(1)の変域内の増減表をつくって最大値を求めます。

質問ですが、xがマイナスのときは底面に対して上下両方に円錐ができますよね。つまり両側に尖る（？）感じですよね。これは円錐でないと考えていいのでしょうか？あと(1)を最初に求める必要はありますか？0<xの時でないと円錐ではないと考えると、V>0であることから｛x>0かつV>0｝という風に判断して、グラフの概形を描いて求めてもいいのでしょうか？あと、図形から変域を求めるときには何に着目するのがいいのでしょうか？高２の範囲で解説してくださると助かります。
お願いします！

回答No.1

owata-www

＞xがマイナスのときは底面に対して上下両方に円錐ができますよね。つまり両側に尖る（？）感じですよね。
いいえ、円錐になります。円錐の高さがr+xになると書いているんです。上下両方に円錐ができるという意味が分かりません。

＞あと、図形から変域を求めるときには何に着目するのがいいのでしょうか？
今回の場合は、中心Ｈが直線ＡＯ上にあるということを暗黙のうちに使っています。逆に考えれば点Ａが定まっている時、円錐の高さは0～2rになります（0の時は点Ａのみ、2rの時は直線ＡＨが球の直径になる時）
何に着目するかは難しいですが、とりあえず最小と最大を考えればいいかと（定義を忘れずに）

お礼

ありがとうございます。
円錐の形については、勘違いしていました。
確かに意味わかりませんね・・・・。