微分法（最大値・最小値の文章題）

質問

【問】
半径ｒの球に内接する直円柱のうちで体積の最も大きいものの底面の半径、高さ、およびそときの体積を求めよ。
【自己見解】
底面の半径ｘ、高さ２ｈ、体積Ｖとおく。
Ｖ＝２ｈπ^2
ここで三平方の定理よりｘ^2＝ｒ^2－ｈ^2
よってＶ＝－２πh^3+２πr^2h

それで、ｈに関して微分してみたんですが文字が２つになって無理でした。。
答えは、
【解答】
順に√6r/3 , 2√3r/3 , 4√3πr^3/9

回答よろしくお願いします。

回答No.2

ccyuki · ベストアンサー

半径rは定数で変数はhだけですよ。
　Ｖ＝－２πh^3+２πr^2h　より
　V'=-6πh^2+2πr^2=-2π(3h^2-r^2)
=-2π(√3h+r)(√3h-r)
　　V'=0　とすると　h=1/√3r=√3/3r
　これで増減表が書け、h=√3/3r　のとき最大
　　このとき　x^2=ｒ^2－(√3/3r)^2=2/3r^2
　　よって　半径x=√2/√3r=√6/3r
　　高さ　2h=2√3/3r
　　体積　V=2・√3/3r・π・2/3r^2=4√3π/9r^3

回答No.1

noname#40706

＜＜それで、ｈに関して微分してみたんですが文字が２つになって無理でした。。＞

文字（変数）はｈだけではないですか？

ｒは球の半径で、与えられた定数ではないですか？

ですから

ｈで微分して　＝０とおき、０＜ｈ＜ｒの範囲でＶの最大値を求められると思いますが。いかがでしょうか。