大学 微分

質問

表面積が一定の直円柱のうちで、体積が最大となる
円柱の底面の半径と高さの比を求めよ。

がわかりません。

回答No.6

ferien · ベストアンサー

ANo.4です。（　）がなくて分かりにくいので、以下を訂正します。

＞ｒ^2＝Ｋ／６πで、ｒ＞０だから、ｒ＝√（Ｋ／６π）（＝√６πＫ／６π）
このとき、Ｖが最大値をとるから、（増減表で確かめて下さい。）
＞ｈ＝（Ｋ／２π）・｛√（６π／Ｋ）｝－√（Ｋ／６π）

でお願いします。

お礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです＾＾

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

No.3です。やっぱ間違ってました。

再びラグランジュの未定乗数法で行きます。

体積は
V(r, h) = πr^2h

束縛条件は(ここが違ってました)
G(r, h) = 2πr^2+2πrh -C = 0

とすると

f(r, h, λ) = V + λG = πr^2h + λ(2πr^2+2πrh -C)

の停留点を束縛条件なしでとけばよいので

∂f/∂r = 2π(rh + λ(2r+h)) = 0 (第１式)
∂f/∂h = πr(r + 2λ) = 0 (第２式)
∂f/∂λ= 2πr(r + h) -C = 0 (第３式)

第２式より
λ = -(1/2)r

第１式に代入すると πr(h - 2r) = 0 なので
h=2r　→ h;r = 2:1

お礼

回答ありがとうございます。
みなさんと違う解法でおもしろく
わかりやすかったです＾＾

回答No.4

ferien

＞表面積が一定の直円柱のうちで、体積が最大となる
＞円柱の底面の半径と高さの比を求めよ。
半径ｒ、高さｈとすると、
表面積は、円の面積×２＋側面積だから、
２×πｒ^2＋２πｒｈ＝２πｒ（ｒ＋ｈ）＝Ｋ（定数）とおく。
ｒ＋ｈ＝Ｋ／２πｒより、ｈ＝（Ｋ／２πｒ）－ｒ
体積Ｖ＝πｒ^2ｈ
＝πｒ^2｛（Ｋ／２πｒ）－ｒ｝
＝（Ｋ／２）ｒ－πｒ^3
ｒで微分して、
Ｖ'＝ｄＶ／ｄｒ＝Ｋ／２－３πｒ^2
Ｖ'＝０より、３πｒ^2＝Ｋ／２
ｒ^2＝Ｋ／６πで、ｒ＞０だから、ｒ＝√Ｋ／６π（＝√６πＫ／６π）
このとき、Ｖが最大値をとるから、（増減表で確かめて下さい。）
ｈ＝（Ｋ／２π）・（√６π／Ｋ）－√Ｋ／６π
＝√６πＫ｛（１／２π）－（１／６π）｝
＝√６πｋ／３π
よって、ｒ：ｈ＝（√６πＫ／６π）：（√６πＫ／３π）＝１：２

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ラグランジュの未定乗数法で解いてみます。

体積は
V(r, h) = πr^2h

束縛条件は
G(r, h) = πr^2+2πrh -C = 0

とすると

f(r, h, λ) = V + λG = πr^2h + λ(πr^2+2πrh -C)

の停留点を束縛条件なしでとけばよいので

∂f/∂r = 2π(rh + λ(r+h)) = 0 (第１式)
∂f/∂h = πr(r + 2λ) = 0 (第２式)
∂f/∂λ= πr(r + 2h) -C = 0 (第３式)

第２式より
λ = -(1/2)r

第１式に代入すると πr(h - r) = 0 なので
h=r

第３式は
3πr^2=C ー> r=√(C/(3π))

全部オンラインなので間違っていないことを祈ります(^^;

回答No.2

noname2727

底面の半径をｒ、円柱の高さをｈとする。
πｒ＾２+２πｒｈ＝ｋ（定数）・・・（※）
のとき
Ｖ＝πｒ＾２ｈ＝２πｒｈ×ｒ/２＝（ｋ-πｒ＾２）×ｒ/２＝－πｒ＾３/２　+ｋｒ/２
Ｖ’＝-３πｒ＾２/２　+　ｋ/２
よってｒ＝√（ｋ/３π）でＶは最大値をとる。
（※）に代入して
ｋ/３　+　２πｒｈ　＝　ｋ
⇔２πｒｈ　＝　２ｋ/３
⇔ｒｈ＝ｋ/３π
⇔ｈ＝√（ｋ/３π）

ｒ：ｈ＝√（ｋ/３π）：√（ｋ/３π）＝１：１

１：１でした＾－＾￥

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

どこが?