体積(積分)

質問

底面の半径がaである２つの直円柱が、その軸に垂直に交わっている。
このとき２つの直円柱が共有する部分の立体の体積を求める問題です。

なにか参考書で類題を探したのですが、図形の問題は円関係しか無かったので、お助け願いますm(_ _)m

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

この問題に以前にも答えた事がある、それだけ頻出問題なんだろう。
他にも解法はあるが。

2つの直円柱の軸を各々x軸、y軸に取ると、その方程式は、y＾2＋z＾2＝a＾2、x＾2＋z＾2＝a＾2.
この2つの直円柱の共通部分で、x≧0、y≧0、z≧0の範囲にある立体をＡとすると、対称性から、Ａの体積は求める体積Ｖの1/8である。
この立体Ａを、xy平面に平行でxy平面からzの距離にある平面で切ると、その切断面は1辺の長さが√（a＾2-z＾2）の正方形で、その面積は（a＾2-z＾2）。
従って、立体Ａの体積は、Ｖ/8＝∫（0、a）{a＾2-z＾2}dz＝（2/3）*a＾3　であるから、Ｖ＝（16/3）*a＾3　。

お礼

定番の問題なんですね！
どうもありがとうございました！