微分の文章題

質問

微分の文章題

半径５の球に内接する直円柱のうちで体積がもっとも大きい場合の底面積の半径、高さ、そのときの体積を求める。

詰みました。
とりあえず、高さｈ、底面積の半径ｒとして
Ｖ＝ｈｒ＾２π

として、ｈの消去を疑いましたが、自分ではできませんでした。
教えてください！！！

回答No.5

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

断面を考えるとわかりますが、
断面は、円に長方形が内接している状況です。
したがって、
円柱の底面の半径をｒ、高さをｈと置けば、
三平方の定理より
（２ｒ）^2　＋　ｈ^2　＝　２×５
です。
よって、
ｈ　＝　√（１０　－　４ｒ^2）

よって、円柱の体積Ｖは、
Ｖ（ｒ）　＝　πｒ^2・ｈ
　＝　πｒ^2・√（１０　－　４ｒ^2）

Ｖ（ｒ）が極大となるとき、ｄＶ／ｄｒ　＝　０　　←　ここがポイント！
すなわち、
｛πｒ^2・√（１０　－　４ｒ^2）｝’　＝　０
｛ｒ^2・√（１０　－　４ｒ^2）｝’　＝　０
｛ｒ^2・（１０　－　４ｒ^2）^(1/2) ｝’　＝　０

微分
２ｒ・（１０　－　４ｒ^2）^(1/2)　＋　ｒ^2・（－８ｒ）・１／２・（１０　－　４ｒ^2）^(-1/2)　＝　０
２ｒ・（１０　－　４ｒ^2）^(1/2)　－　４ｒ^3・（１０　－　４ｒ^2）^(-1/2)　＝　０

両辺に（１０　－　４ｒ^2）^(1/2)　をかけて
２ｒ・（１０　－　４ｒ^2）　－　４ｒ^3　＝　０

ｒ＝０　は明らかに答えではないので、２ｒで割って
（１０　－　４ｒ^2）　－　２ｒ^2　＝　０
－６ｒ^2　＋　１０　＝　０
ｒ^2　＝　５／３　＝　ｒvmax^2　（Ｖが最大となるときのｒ^2）

Ｖmax　（　＝　底面積　×　高さ）
　＝　πｒvmax^2・√（１０　－　ｒvmax^2）
　＝　π（５／３）・√（１０　－　４・５／３）
　＝　π（５／３）・√（１０／３）
　＝　π（５／３）・√（１０・３／（３・３））
　＝　（５π√３０）／９

計算ミスがあるかもしれないので、検算してください。

お礼

回答ありがとうございます！！理解できました！

回答No.4

2ac0uO

逆に、円柱に外接する球を考えると、円柱の両側の底面の部分で接する事となり、接している部分は円となります。
従って、円柱と外接球が接している状態で、円柱の軸を含む面で切断すると、切断面は外接球の円と円柱の四角が接した状態となります。
従って、円柱の半径を r ，高さを h
外接球の半径を R とすると、
　　R = √((2r)^2 + h^2)
となります。
これが 5*2 となるわけですから、
　　4r^2 + h^2 = 100　(r>0，h>0)
この条件下で、
　　V = 2π・h・r^2
が最大となる時の r と h を求めると言う問題になります。

あとは両式から r か h を消して微分してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます！！

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞？ｒ+？ｈ＝？みたいな・・・ができればいいのですが、おもいつきません！！
なんとなく、いい感じのイメージはできていると思うのですが・・・

おそらく絵を描きながら考えていると思いますが、
その絵を見ながら次のようなことを考えてみてください。
・「球に内接する」という条件があると、rを決めたら hも決まる。逆に、hを決めたら rが決まる。という関係がありますね。
言い換えれば、rは hを用いて表すことができる（または、その逆）。ということになります。

・さて rと hは関係を持ちますが、「球に内接」ということを考えると球の半径も関係しそうですよね。
（球の半径によっても、rと hは変わるので）

・ということで、底面の半径と高さ、そして球の半径が図の中でどうなっているのかを考えてみてください。
中学校の時に習った内容で、関係が見えてきますよ。＾＾

お礼

回答ありがとうございます！！がんばります！

回答No.2

debukuro

体積を半径か高さのどちらかの関数にすれば出来ます

お礼

回答ありがとうございます！！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞ｈの消去を疑いましたが、自分ではできませんでした。
どのように消去しようとしましたか？
「こうやったら」って内容でもいいので、書いてみてください。

「消去する」って方針自体はあっていますよ。＾＾

お礼

回答ありがとうございます！！！

ｒとｈの関係式

？ｒ+？ｈ＝？みたいな・・・ができればいいのですが、おもいつきません！！