円錐の体積について

質問

半径1の球に高さhの円錐が内接している(写真を参照)。

(1)この円錐の体積Vをhで表してください。

(2)Vの最大値とそのときのhの値を求めてください。

できればやり方なども教えてください。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.5

mnakauye

回答４への補足です。

　１の答では、係数はまとめて前に出すのが原則で　π／３が先頭に来ます。

　　また因数分解はこれ以上できない形で書きますので、ｈ＾２（２－ｈ）です。

　　なぜ因数分解したほうが良いのかというのが、この補足の目的ですが、

　それは、因数分解しておけば、慣れてくると、グラフの形がおのずと頭に浮かぶということです。

　３次関数の場合、３次の係数が負である場合は、右下がりの形ですよね。

　因数分解しておくと　一般には　ｘ軸　、　この場合は　ｈ　軸との交点がすぐにわかります。

　ｈ＾２（２－ｈ）　＝０　の答えは、０が２回（重解）と２ですね。

　つまり　０で接して　２を横切る　そして右下がりの　Ｎ　型　

　　でグラフは図のようになるとグラフが頭に浮かぶ。（たくさん解いていればわかるようになります。）

　　グラフ再掲・・・・・

回答No.4

mnakauye

おはようございます。

　補足への回答です。

　ア）1の解答の書き方は、どちらでも正しいですが、この場合のようにπのように複雑な係数がつくときは、

　因数分解できる場合にはその形で書く方が一般的には良いのです。

　　したがって　ｈ　の式の部分は　ｈ＾２（２－ｈ）　とします。

　イ）　ｈは高さなので動けるのは直径の上ですね。だから最大直径の長さまでですが　直径　2　になると

　　円錐ではなくなりますから　０＜ｈ＜２　となります。

　問題を考えるときに条件に合う円錐をいろいろと書いてみるのが、考える基本です。すると　イ）のことに気がつくはず。

　問題を考えるときはたくさん絵を落書きしましょう。

回答No.3

yyssaa

No.2です。対補足
(1)の答えがV=π*h*（2h-h^2）/3={-π/3}(h^3-2h^2)
となるといういけんもありますが、
V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか？
＞{-π/3}(h^3-2h^2)={π/3}(-h^3+2h^2)
={π/3}(2h^2-h^3)={π/3}h^2(2-h)=πh^2(2-h)/3
であり、同じ答です。

回答No.2

yyssaa

(1)この円錐の体積Vをhで表してください。
＞球x^2+y^2+z^2=1を平面z=-|h-1|で切った切り口は
円x^2+y^2=1-(h-1)^2=1-(h^2-2h+1)=2h-h^2であり、
その面積はπ(2h-h^2)。よって
V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3・・・答
(2)Vの最大値とそのときのhの値を求めてください。
＞dV/dh=(2π/3)h(2-h)-(π/3)h^2=(π/3)h(4-3h)
dV/dh=0の解はh≠0だからh=4/3
dV^2/d^2h=(π/3)(4-3h)-3(π/3)h=(2π/3)(2-3h)
h=4/3のときdV^2/d^2h=(2π/3){2-3(4/3)}=-4π/3＜0
だからh=4/3でVは極大となり、その値は
V=πh^2(2-h)/3=π(4/3)^2{2-(4/3)}/3=(32/81)π
Vの最大値：(32/81)π、そのときのhの値：4/3・・・答

補足

回答ありがとうございます。(1)の答えがV=π*h*（2h-h^2）/3={-π/3}(h^3-2h^2)となるといういけんもありますが、V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか？

回答No.1

mnakauye

こんばんは。

　まず円錐の体積　Ｖ　は底面の半径　ｒ　と高さ　ｈ　がわかっていれば、円錐の体積の公式

　　体積　＝　１／３　ｘ　底面積　ｘ　高さ

　　ですから、V =1/3　・πｒ＾2　・　ｈ　ですね。　　式(1)

　　いまわかっているのは　ｈ　で　ｒ　は　中心Ｏ　と底面の円の球への接点のひとつ　Ａ　と　高さの足（高さの線と

　底面の交点）　Ｂ　でできる直角三角形ＯＡＢで　三平方の定理を使って

　　　　１＾２＝ｒ＾２＋（１－ｈ）＾２

　という関係から　ｒ＾２　がでます。

　　円錐の底面が球の中心より上にある場合、　ＯＢ＝１－ｈ　下にある場合　ＯＢ＝ｈ－１　ですが、

　　三平方の定理では２乗しますから　どちらの場合でも　上の式で正しいことになります。

　　ここから　r＾2　＝　１－（１－ｈ）＾２　ですから、これを　式(1)に代入すれば　Vは　ｈ　だけの式になります。

　これで　問１の回答は終わり。

　　問２　は　Vが　ｈの三次式ですから、微分を使うことになり、　高さ　ｈ　の範囲が　０　より大きく

　　２より小さいことを条件に、3次式のグラフを書いて求めることになります。

　　V=π／３ｈ＾２（２－ｈ）　式(2)

で、係数π／３は　いちいち面倒なので、

　　　　ｙ＝ｈ＾２（２－ｈ）　のグラフを書きます。

　　　　　展開して微分すると　ｙ´＝ｈ（４－３ｈ）

　　になりますから、　ｙ´＝０　になるのは、　h=０と　ｈ＝４／３

　　増減表を書いてグラフを書けば図のようになり、H=4/3のときが最大で

　　式(2)に代入して　Vの値（最大値）もわかります。

　　増減表を書くのと計算はご自分でやってくださいね。

　　がんばって・・・・・

お礼

申し訳ないです。補足に付け足しします。hの範囲が0<h<2になる理由が分からないので教えて頂けないでしょうか？

補足

回答ありがとうございます。(1)の答えがV=π*h*（2h-h^2）/3={-π/3}(h^3-2h^2)となるという意見もありますが、V=(1/3)π(2h-h^2)*h=πh^2(2-h)/3のほうが正しいのでしょうか？