数学の質問です。体積が最大になる時の円錐の高さを求めたいです。

質問

微分の教科書を使って勉強をしていると、次のような練習問題がありまして、頭を悩ませております。

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問題：
図(添付画像)の直円錐で、頂点Oから底面の円周上の点Aまでの
長さaが一定であるとき、その体積が最大になる場合の高さを
求めよ。
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答えは「(√3/3)a」らしいです。
円錐の体積の面積は、「1/3×（底面積）×（高さ）」なので、この公式を用いれば、半径をrとすると、

直径の面積×π×h×1/3
=(2πr/3)h

となるのですが・・・解答には"r"や"h"が出てきていないので、全部aを使って表すことができるということなのでしょうか？
どうすれば体積を最大にする高さを求められるのかご教授いただきたいです(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.4

BookerL · ベストアンサー

高さが ｈ であるから、底面の半径は √(ａ^2 － ｈ^2) となります。

　円錐の体積は (1/3)底面積×高さ ですから、

　Ｖ＝(1/3)π(ａ^2 － ｈ^2)ｈ
　　＝(1/3)πａ^2ｈ － (1/3)πｈ^3

　体積 Ｖ が ｈ の関数で表されるので、０＜ｈ＜ａ の範囲で Ｖ が最大になる ｈ を求めればいいことになります。

　Ｖ を ｈ で微分すると (1/3)ａ^2 － ｈ^2 となり、これが ０ になるのは ±(√(1/3))ａ でここが極値になります。あとは、ｈの範囲 ０＜ｈ＜ａ とか、ｈ＝０ と ｈ＝ａ で Ｖ が ０ になることとか、Ｖ の増減を確認すれば、

＞答えは「(√3/3)a」らしいです。

にたどり着けますよ。

お礼

ありがとうございます、わかりました！
±(√(1/3))ａという極値を導く方法が(^_^;)

そこからどう「(√3/3)a」に到達するのはまだ疑問なのですが、それよりも前に、気になる箇所がありまして。
BookerLさんが書いてくださった、

V=(1/3)πａ^2ｈ － (1/3)πｈ^3

を、hで微分すると、

V'=(1/3)ａ^2 － ｈ^2

になるという箇所に関して、確かに微分の公式↓
http://www.geocities.jp/k27c8_math/math/analysisI/formulas_of_differentiation.htm
を使えばすぐに式を展開させることはできるのですが、途中の計算が気になったので、極限値を使って求めることを試みました。

すると、

・・・

d/dh・(1/3)πａ^2ｈ － d/dh・(1/3)πｈ^3
=1/3πａ^2・d/dh・h －d/dh・π・ｈ^3・(1/3)
=1/3πａ^2・lim【Δh→0】(h＋Δh)－h/Δh －lim【Δh→0】π・(h+Δh)^3－h^3/3Δh

Δh→0なので、(h＋Δh)－h/Δh→0。

=1/3πａ^2 －lim【Δh→0】π・｛h^3＋3h^2(Δh)＋3h(Δh)^2＋(Δh)^3｝－h^3/3Δh
=1/3πａ^2 －lim【Δh→0】π・｛3h^2(Δh)＋3h(Δh)^2＋(Δh)^3/3Δh｝
=1/3πａ^2 －lim【Δh→0】π・｛3h^2(Δh)＋3h(Δh)^2＋(Δh)^3/3Δh｝
=1/3πａ^2 －lim【Δh→0】π・｛h^2＋h(Δh)＋(Δh)^3/3｝

Δh→0なので、π・h(Δh)→0、π・(Δh)^3/3→0となるので、

=1/3πａ^2 －πh^2

・・・

「(1/3)ａ^2 － ｈ^2 」と、違う答えが出てきてしまったのです(ToT)
微分すると、πは消えてしまうのでしょうか？

申し訳ないのですが、お暇な時に、上記の微分の計算で間違っている所がありましたら、指摘していただけないでしょうか？
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.6

BookerL

#4です。

　すみません、こちらの間違いがありました。

＞「(1/3)ａ^2 － ｈ^2 」と、違う答えが出てきてしまったのです

違って当然です。これが間違いです。正しくは dj-s さんの計算したとおり

1/3πａ^2 －πh^2

です。

　もう一つ。

＞そこからどう「(√3/3)a」に到達するのはまだ疑問なのです

√(1/3) と (√3)/3 は同じです。

√(1/3) ＝ (√1)/(√3)
　　　　　　　　　　　　分母・分子に √3 をかけて
＝ {(√1)*(√3)}/{(√3)*(√3)}
＝ (√3)/3

となります。このような操作は「分母の有理化」といわれます。

お礼

なるほど、分母と分子に√3をかけるのは思いつきませんでした・・・ありがとうございます！

回答No.5

naniwacchi

#3です。

＞「r」という変数は、必要ないのですね(*゜д゜*)
必要ないってことはないですよ。
ただ、最終的には hで書けるということです。
逆に、rを変数にすると hは rで書けることになります。

どちらか一方が決まれば、自動的にもう一方も決まるので、変数はどちらか1個で済むということです。
いまの問題では、πr^2を使うこととピタゴラスの定理を使うことを考えると、
高さを変数とした方が楽だと思います。

あと、微分の計算ですが係数がややこしいので
「hの微分」と「h^3の微分」として計算した方が混乱をうまないと思います。
dh/dh= lim {(h+Δh)- h}/Δh= lim Δh/Δh= 1

d(h^3)/dh
= lim {(h+Δh)^3- h^3}/Δh
= lim {h^3+ 3*h^2*Δh+ 3*h*(Δh)^2+ (Δh)^3- h^3}/Δh
= lim {3*h^2*Δh+ 3*h*(Δh)^2}/Δh
= lim {3*h^2+ 3*h*Δh}
= lim {3*h^2}

お礼

なるほどです、理解できました(^_^;)
微分の計算も、naniwacchiさんのやり方の方が全然スマートですね、ありがとうございます！

回答No.3

naniwacchi

このような問題を考えるとき、
「変数」がいくつ必要になるかということを考えてみてください。

いま、円錐の母線は aで一定とされています。
高さを hとすると、その時点で半径は決まってしまいます。
つまり、円錐の形状が決まってしまうということです。

すると、半径を rと置いたとしても、それは hと aを用いて表されるはずです。
いまは、これらの3つの間に、ピタゴラスの定理の関係が成り立っています。
また、「円錐」となるには、0＜h＜aでなければなりません。

この問題では h= (√3/3)aで最大になるということですが、
エッセンスとしては、長さの比が 母線：高さ= 1：(√3/3)であるということです。
大きさはどうあれ、長さの比はこうなれば最大であるということです。

円錐の大きさは、aの大きさによって変わります。（相似比を考えてみてください。）
ということは、hも aの大きさに応じて変わります。
そう考えると、最大を与える hに aが含まれれていることも必然であることがわかると思います。

お礼

りょうかいです！
「r」という変数は、必要ないのですね(*゜д゜*)

回答No.2

shintaro-2

条件は、ａが一定なので
ｒまたはｈはａの関数となります。

求めるのは、高さなので、r=a-hを代入して
ｈで微分するわけですから、
体積はｈの二次関数
１階微分した式はｈの一次関数です。

微分したものをｈについて解くわけですから、答えにｈが出るはずがありません。正確には、２階微分した式が正であることを確認する必要があります。

お礼

回答ありがとうございます！
でも、どうして「r=a-h」が出てくるのでしょうか？三平方の定理などを使ってみると、

r^2+h^2=a^2
r^2=a^2-h^2
r=√a^2-h^2
r=(a^2-h^2)^1/2

という結果になると思うのですが・・・

回答No.1

Cupper

んとですね、その設問での答えは

　∞ （無限大）

となるんですよ

本来の問題から一部だけを抜き出していませんか
なんの前振りもなくａが一定と言うのがどうしても引っかかるんです
問題集なら、ページをめくった前のページから続いている問題と言ったことはないでしょうか

お礼

すぐ書きこんでいただきありがとうございます！
問題は、この問題単体で出題されています(ToT)