数学 個数の処理についての素朴な疑問

質問

お世話になっております。

高校数学の個数の処理についてですが、小さい数の対象については、樹形図とかの図を使って計算や考え方の善し悪しをある程度確かめることが出来ると思いますが、膨大な数の対象を演繹するのにその解が正しいかを調べる方法って一般にあるのでしょうか。
そういった点で、個数の処理って難しいですよね……一方通行過ぎるというか…

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。
以下、ダラダラと長くなりますが。＾＾；

ジャンケンとか、サイコロの問題は、
ときに数え上げるときに混乱したり、戸惑ったりしますよね。
わたし的には、混乱の原因は
　「それぞれを区別するのかしないのかがわからなくなる」
ところだと思っています。

ジャンケンだったら、その「人」は区別しているのかどうなのか。
サイコロなら、サイコロ一つ一つは区別しているのかどうなのか。
（サイコロは、たまに大中小と区別できるようにする場合もありますね）

で、こういうときは「全体（分母）の数え上げ方に従う」と考えるようにしています。

たとえば、いまのジャンケンであれば「全体の場合の数は、3^4」としています。
ということは、
　Aさん　グー、チョキ、パー
　Bさん　グー、チョキ、パー
　Cさん　グー、チョキ、パー
　Dさん　グー、チョキ、パー

の組合せを考えていることになります。
同じ「グーが 2人」といっても、「Aさん＋Bさん」「Bさん＋Cさん」「Cさん＋Dさん」・・・と
数え上げても問題ないということです。

わたしがこの問題を解くのであれば、
・4人のうち 2人を選び出して（4Ｃ2とおり）、この 2人には同じ手を出してもらう。
　同じにする「手」は、グー、チョキ、パーのどれかを選ぶことになる（3とおり）。

・残りの 2人には、残りの手をそれぞれ出してもらう。
　ただし、（C, D）＝（グー, パー），(パー, グー)のように 2とおりの場合がある。

と考えれば、以下のように求まります。
(4Ｃ2×3×2)÷3^4＝ 4/9

＞例えば、上の問題の参考書の解、3×(4!/2!)の「3」の意味が中々分からなかったり…
上でも書いているように、この 3はグー、チョキ、パーの選び方の「3」です。

「手が出たときの組合せ」というよりは、
「手を出す人と手を（題意に合うように）選んでいる」と言った方が考えやすいでしょうか？

文字や色のついた球を並べるような問題でも、
「先に並べてしまい、残りを空いた所に」という考え方をしますよね。

試行を分解してというよりも、「逆になぞってる」感じかもしれません。
うまく言葉では伝えられないのですが。。。

参考にされている資料が古いと言われていますが、
わたしも古い課程の人間ですし、「数え方」の話なので問題ないと思いますよ。
解答が式だけだったりと、その中身を追うのは少々大変かもしれませんが、
最後は「慣れ」ということになるのかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
「3」の意味、確かに他に考えられないですね。よく分かりました。
特効薬は無いということですね。地道にやって行くしかない。時折めげそうになりますが、せっかくだから楽しんでやれたら良いな、と思います。
こちらこそ長ったらしい補足すいませんでした。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
「場合の数」の問題についてですよね。

そんなに「膨大な」数を対象とするような問題は、高校数学の範囲ではないような。。。
センタ試験レベルでは、時間制約があるものの問題自体書き出せない数ではないですし。

つかみどころがなくなるという意味では、
膨大というよりも、「白球 n-2個と赤球 2個の計 n個」みたいな感じになることが多いですよね。

数え上げることよりも、
おこなっている「試行」がどのような操作のつながりとして成り立っているかを
見極めることがポイントだと思います。
それこそ、そのことが演繹的に示されていればよいと思います。

それには、試行のシミュレーションと操作の分解を考えるところがミソになってくるかと。

お礼

naniwacchi様、いつもご丁寧な回答ありがとうございます。また、お礼が遅くなってすいません。
私、古本屋で漁って買ったものが二つ前の課程の物でして……失敗したかな、と思ったらそれでも何とかなるそうなので今日まで使ってます。(故に「個数の処理」と書いてしまった…)
ご回答の5、6段落目の内容しかと心得ます。
今年は無理かなぁ、と半ば諦めかけてますが、センターだけでなく二次もあるので、参考書は丸々やってみようとは考えてます。場合の数と確率済ませたら、IIICですね…。IIICの途中でそれまでの内容に穴があることに気付いたので……中々しんどいです。でも、大分理解出来るようになりました！授業料払わないのが申し訳ないくらいです。

ご回答ありがとうございました。

補足

一点だけ補足というか新しい質問というかですが。次の問
「四人で一回ジャンケンをするとき、グー、チョキ、パーのすべてが出る確率を求めよ」という問題で、
参考書的には、
解　「同じものを含む順列」と銘打って、
全事象が3^4通りあるのに対し、グー、チョキ、パーのいずれか一つを二人が出す場合が当該事象なので、3×(4!/2!)通り。
∴4/9。
とあっさりしているのですが、私的には、
(ア)グーを二人が出す、(イ)チョキを二人が出す、(ウ)パーを二人が出す、と場合分けして、各々2×3!通りあるから、当該事象は12+12+12=36通りある、という筋道の方がしっくりくるのですね。ほんの一例に過ぎないですが、場合の数では、アプローチの仕方が色々ある上に似て非なるものもあるので、結構厄介に感じます。センターみたいに時間がシビアなテストでは、パターンで解くのが時間効率良いでしょうし、いくつかは予め筋道が与えられて空欄を埋めるような誘導問題もあるので、どうしたものかと悩んではいます。例えば、上の問題の参考書の解、3×(4!/2!)の「3」の意味が中々分からなかったり…
アドバイス戴ければ幸いです。

回答No.1

ereserve67

基本的には論理的に正しいかどうかにつきます．

しかし，最近はExcelなどコンピューターソフトの処理能力を使ってじかに数え上げることも可能になりました．論理的に正しい思われる方法で数えた結果とコンピューターで総当たりで数えた結果が一致すれば正しいと言えるのではないでしょうか．私はこの方法を重宝しています．

お礼

返事が遅れてしまいすいません。そして、ご回答ありがとうございました。
なるほど。やはりコンピューターですか。高校数学の中では、頼れる検算が無い分野に思えますね。果たして、皆が同じ筋道で解いているのかどうか…という印象があります。難しい問題になれば殊更