個数の処理、どうもしっくりこない

質問

数学が苦手です。ふと思い出したことがあるので質問します。

「１００までの自然数のうち３で割り切れる数の個数を求めよ」

という問題の場合、１００÷３をした記憶があるのですが、これは何故だったのでしょうか。
同じように、

「１００までの自然数のうち３と４で割り切れる数の個数を求めよ」

では、１００÷１２（３と４の最小公倍数）をした覚えがありますが、何故この式で個数が求められるのかがどうもしっくりいきませんでした。

小さい数で具体例を出されれば見た感じで「そうなるんだな」とまでは思えるのですが大きな数になると図が書けないせいか納得がいかないのです。

どなたかわかりやすいように説明していただけませんか。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

100÷3で求めた理由。

100間での自然数の中には、3の1倍、2倍・・・3の33倍までがあります。
この33倍というのを求めるのに100÷3をやっているわけです。そもそも100÷3で33というのは3の33倍が100以下で最も大きな3の倍数である、ということです。だから、100以下の自然数の中に3の倍数は、1倍から33倍までの33個あることになります。

次に「３と４で割り切れる数の個数を求めよ」（正しくは3と4の両方で割り切れる、としないといけないのですが）というのは、3と4の両方で割りきれる数（3と4の公倍数）の個数を求める、という問題です。
ところが公倍数は最小公倍数の倍数になる、という定理があるので、結局最小公倍数の倍数の個数を求めればいいことになります。

回答No.3

yumisamisiidesu

厳密な証明は
　{x|x|3,1<=x<=100}と{x|x=1,…,33(=[100/3])}
に全単射があることを示せばいいです.
これを一汎的に書くと
　{x|x|n,1<=x<=y}と{x|x=1,…,[y/n]}
に全単射があることを示せば1からyまでの自然数のうちnの倍数の個数は[y/n]であることを示したことになります.
　{x| x|L(n,m),1<=x<=y}={x| x|n,1<=x<=y}∩{x| x|m,1<=x<=y}
も成り立つと思います.（L(n,m)はn,mのL.C.M.）

回答No.2

debut

例えば１から10までを書き並べて「３で割り切れる数」の隣に区切りを
入れてみると、
　１　２　３ ／ ４　５　６ ／ ７　８　９ ／ １０
のように、３番目ごとに区切りが入ります。この区切りで数字を３つずつ
のグループに分けていると考えれば、「100までの自然数のうち３で割り切れる
数の個数を求めよ」は「100までの自然数を順に３つずつのグループに分ける
とグループはいくつできるか」と読み替えることができます。
だから、１００÷３で計算できます。
１００÷１２の方も同様に、数字を１２個ずつのグループ分けとみれば
わかるでしょう。