数学 組み合わせ？の問題 １，１，２，３，３

質問

数学　組み合わせ？の問題　１，１，２，３，３

上記の５つの数字を並び替えたいのですが、
何パターンあるでしょうか？
答えは３０通りだと思うのですが、
地道に樹形図をつくってやってみました。

しかし、例えば、１，２，３，を並び替える場合、・・・(1)
３＊２＊１＝６通り
といったように、簡単に計算できます。
あるいは、例えば、１，１，１，２，２を並び替えるなら、・・・(2)
５P２＝(５＊４)/(２＊１)＝１０通り
といったように同じく容易に計算できます

このように簡単に計算したいのですが・・・

よろしくお願いします。

回答No.4

QoooL · ベストアンサー

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ

の５つの箱を並べる順列は

５！　＝　５ｘ４ｘ３ｘ２ｘ１　＝　１２０　通り

さて、
Ａ　と　Ｂ　に　１の２つが入っていた場合、
ＡとＢをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。
つまり、
１、１、２、３、４　を箱に入れる時、
箱の並び順　　　箱を開けた時の中身
ＡＢＣＤＥ　　　１１４２３
ＢＡＣＤＥ　　　１１４２３
で同じです。

ＥＡＤＣＢ　　　４１３２１
ＥＢＤＣＡ　　　４１３２１
も同じです。

つまり　同じものが２つあるなら　その２つの順列、
２！　＝　２　通り　
だけ重複している、ということですね。
１２０　÷　２　＝　６０　通り

さて、
１、１、２、３、４　ではなく、
１、１、２、３、３　を箱に入れる時、で考え直します。

３の２つの　順列は？
２！　＝　２　通り　
です。
Ａ　と　Ｂ　に　１の２つ　が入っていた場合に限定しましょう、
さらに　Ｃ　と　Ｄ　に　３の２つ　が入るとします。
ＣとＤをこっそりと入れ替えても、中身見ても誰も気付きませんね。

ＡＢＣＤＥ　　　１１３３２
ＡＢＤＣＥ　　　１１３３２
で中身は同じです。

ＣＥＡＤＢ　　　３２１３１
ＤＥＡＣＢ　　　３２１３１
も同じです。

ここで
ＡＢＣＤＥ　　　１１３３２
ＢＡＣＤＥ　　　１１３３２
ＡＢＤＣＥ　　　１１３３２
ＢＡＤＣＥ　　　１１３３２
の違いまで考えると樹形図になって混乱します。

発想は逆です。かけ算ではなく割り算です。
全部違うと　　　　　　　　　１２０　通り
ＡＢの中身が同じなら　　　　１２０　÷　２　＝　６０　通り
ＡＢの中身が同じもとで
　ＣＤの中身が同じなら　　　１２０　÷　２　÷　２　＝　３０　通り

そこで、１通りのことも　１！　通りと表すと、
５　文字の中に　　　　　　（５！）
１　が　２つ、　　　　　　（２！）
２　が　１つ、　　　　　　（１！）
３　が　２つ、　　　　　　（２！）
の答えは、公式らしく表して
　５！　÷　（２！ｘ１！ｘ２！）　＝　１２０　÷　４　＝　３０　通り

以上が答えです。

（ご質問では　５Ｃ２　を　５Ｐ２　と書き間違っておられますね）

二度と忘れないために応用しましょう。
９　文字の中に　　　　　　（９！）
Ｐ　が　４つ、　　　　　　（４！）
Ｑ　が　３つ、　　　　　　（３！）
Ｒ　が　２つ、　　　　　　（２！）
あるとすると、
もはや樹形図で解くのは現実的ではありません。
答えは？

　９！　÷　（４！ｘ３！ｘ２！）　＝　３６２８８０　÷　（２４ｘ６ｘ２）　＝　１２６０　通り

実際の試験では時間が限られているので
　９！　÷　４！　＝　９ｘ８ｘ７ｘ６ｘ５
６ｘ２　と約分して　９ｘ４ｘ７ｘ５
少し順番変えて　　　９ｘ７ｘ２ｘ（２ｘ５）　＝　６３　ｘ　２　ｘ　１０　＝１２６０
とします。

一般式に置き換えると、
Ｐ　が　ｐ個、　　　　　　（ｐ！）
Ｑ　が　ｑ個、　　　　　　（ｑ！）
Ｒ　が　ｒ個、　　　　　　（ｒ！）
あると、
合計の文字数は
ｐ＋ｑ＋ｒ　文字　（（ｐ＋ｑ＋ｒ）！）
だからその並べ方は

（ｐ＋ｑ＋ｒ）！　÷　（ｐ！ｘｑ！ｘｒ！）

です。
ｐ＝２
ｑ＝１
ｒ＝２
とすれば
３０
が求められます。

大学入試でよくあるのは　ＰＨＯＴＯＧＲＡＰＨ　とかですね。

１０！　÷　（２！ｘ２！ｘ２！ｘ１！ｘ１！ｘ１！ｘ１！）
です。

回答No.3

lucky20101

重複あある場合
１が２枚、２が１枚、３が２枚、で全部で５枚だから

（５！）/（２！・１！・２！）＝３０通り

回答No.2

aokii

失礼しました。
誤記訂正します。
1と3が２個づつあるので、重複分を割って、
5P5/2P2/2P2=30

回答No.1

aokii

5P5/(2P2-2P2)=30