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三角形ABCを使った長方形ADEFの面積と周の長さの関係について
- 直角三角形ABCの各辺上に頂点を持つ長方形ADEFの面積が12m^2以上になる条件と周の長さを求める問題です。
- 解答では、参考書の解き方とは異なるADをxとして解答していることで計算結果が異なってしまいます。
- 参考書の解答では、周の長さは2/3*(18+x)としてあり、条件3≦x≦6によって、14≦2/3*(18+x)≦16という結果になります。
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＞参考書はAFをxとしているのですが、自分はADをxとして ＞AD＝xとすると、0<x<9 ＢＤ＝９－ｘ ＥＤ＝ｙとおくと、 長方形の面積が12m^2以上だから、ｘｙ≧１２ ……（１） △ＡＢＣ∽△ＤＢＥより ＣＡ：ＥＤ＝ＢＡ：ＢＤだから、 ６：ｙ＝９：（９－ｘ） ９ｙ＝６（９－ｘ）＝５４－６ｘより、 ｙ＝６－(2/3)ｘ を（１）へ代入して ｘ｛６－(2/3)ｘ｝≧１２ 両辺に３を掛けて ｘ（１８－２ｘ）≧３６ ２ｘ^2－１８ｘ＋３９≦０ ｘ^2－９ｘ＋１８≦０ （ｘ－３）（ｘ－６）≦０より、 ３≦ｘ≦６ ｙ＝６－(2/3)ｘは、単調減少なので、 ｘ＝３のとき、ｙ＝４ ｘ＝６のとき、ｙ＝２より 長方形の周の長さは、 ２（ｘ＋ｙ）＝２×（３＋４）＝１４ から、 ２（ｘ＋ｙ）＝２×（６＋２）＝１６ よって、１４≦２（ｘ＋ｙ）≦１６ ＞自分の解答はどこを間違えどう考えれば良かったのでしょうか？ ｘとｙの対応を間違えています。 ｙ＝2/3(9-x)のグラフを３≦ｘ≦６の範囲で描いてみれば、 ｘとｙの対応の関係が分かると思います。
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- asuncion
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＞3≦x≦6 ＞2≦2/3(9-x)≦4 ＞この二つを足して2倍 ＞10≦x+2/3(9-x)≦20 x+2/3(9-x) は、「この二つを足して2倍」状態でしょうか。 そもそも、この解き方が正しいかどうかはよくわかりませんけれど。
- suko22
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＞解答は ＞周の長さは2{x+2*(9-x)/3}=2/3*(18+x) ＞3≦x≦6より ＞14≦2/3*(18+x)≦16 解答は周の長さをｘで先に表しています。 横と高さは連動しているので周の長さをｘを使って先に求めています。 ＞3≦x≦6 ＞2≦2/3(9-x)≦4 ＞この二つを足して2倍 ＞10≦x+2/3*(9-x)≦20 質問者さんの解答は高さの範囲と横の範囲を別々に求めています。そして最小値同士、最大値同士足しています。 ここで、考えてください。 縦が最大のとき、横も最大になりますか？ ならないと思います。 実際、 xの最大値は6です。2/3*(9-x)の最大値は4です。 しかし縦ｘ＝6のとき、横は(2/3)*(9-6)=2です。最大値の4にはなりません。 このような互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけません。なぜなら同じｘで縦、横とも最大値の和または最小値の和になるとは限らないからです。（上の例で明らか） どうでしょうか？イメージできましたか？
お礼
非常に分かりやすかったです！ わざわざありがとうございます！ asuncionさん、suko22さんもありがとうございました。 「互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけない」肝に銘じておきます。