数学 I この問題教えてください

質問

AB＝５、BC＝４、CA＝３である直角三角形ABCがある。
この三角形に面積が３分の８である長方形PQRCが内接している
とき長方形の短い辺のながさを求めよ。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

辺BC上に点Pがあると考えても一般性を失いません。
このとき、△QBP∽△AQRですから、
BP:QR=QP:AR
ここで、BP=4-QR, AR=3-QP ですから、
(4-QR):QR=QP:(3-QP)
(4-QR)(3-QP)=(QR)(QP)
12-4QP-3QR=0 … (1)
ここで、(QP)(QR)=8/3 ですから、
QR=8/(3QP)より、3QR=8/QP … (2)
(2)を(1)に代入して、
12-4QP-(8/QP)=0
12QP-4(QP)²-8=0
(QP)²-3QP+2=0
(QP-1)(QP-2)=0
QP=1, 2
QP=1のとき、QR=8/3>QP
QP=2のとき、QR=4/3<QP
∴短い辺の長さは1, 4/3

補足

少し不備が有りましたので、再質問します