２次関数の問題

質問

直線ｙ＝２ｘ＋１，ｙ＝－ｘ＋１，ｘ軸とで囲まれた部分に長方形を作り内接させる。

（１）　Ｃ（ｘ，０）　として他の頂点をｘで表せ
（２）長方形ＡＢＣＤの面積を最大にするｘを求めよ

考え方～解答、解答をみて、やり方を学ばせてもらいますね。

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

もし-1/2<=x<=0のとき・・・を考える必要はなさそうですね。
４つの頂点が
・y=2x+1上にあるもの
・y=-x+1上にあるもの
・上の各点とx座標が等しく、y座標が0である点（２つ）
となり、Cを「y=-x+1上にある点をx座標が等しく、y座標が0である点」と定義してやることにより、0<=x<=1のみ考えれば十分ですね。^^;

すみませんでした。

ただし、なんの断りもなく0<x<1と決め付けてしまうのは、ちょっと厳しいかもしれません。長方形の頂点のうち左下の頂点をCと考えることも本来的には全く問題ではなく、このときは-1/2<x<0となるからです。（等号はいらないでしょうね。長方形が成立するので）
この問題では、長方形の右下の点のx座標を文字でおいて解いていく、という前提があるからはじめて0<x<1と言ってもよい（一般性を失わない）わけですね。

回答No.3

fushigichan

こんにちは！まず図をかいてみましょう。
y=-x+1
y=2x+1
これとｘ軸ですがｘ軸の方程式はy=0ですね。
それらを、まず書いてみましょう。
その中に、内接する長方形を書きます。
ｃ（ｘ、０）とします。このとき０＜ｘ＜１です（内接することより）

さて、点Cから、ｘ軸に垂直に伸ばしていった点がBですが
この座標は、点Bが方程式y=-x+1上にあることより、
B(ｘ、－ｘ＋１）となります。
同様にY座標がーｘ＋１で、直線y=2x+1上にあるのが点Aですから
この座標はA(-x/2,-x+1)です。同様にD(-x/2,0)です。

すると面積はDAの長さ×DCの長さになりますから、
Sとすると
S=(x/2+x)×(-x+1)となります。
S=-3/2(x-1/2)^2+3/8
と変形できますから、長方形の面積は
x=1/2のとき最大値3/8をとります。

回答No.2

kony0

ポイントだけ。
（重要）-1/2<=x<=0と0<=x<=1とで場合わけする必要があります。
このそれぞれの場合に対して、
・頂点の座標をｘで表すこと
・長方形の面積をｘで表すこと
は中学２～３年生くらいの内容ですので説明割愛。
で、長方形の面積はｘの２次式で表せますよね？
あとは範囲付２次関数の最大問題ですね。

場合わけする理由については、とりあえずよくご自分で考えてみてください。
実際に問題を解いていただければ、そこから逆に場合わけする理由が見えてくると思います。

考え方を書いたので、あとは式つくってやってみてください。解答をいきなり書くわけにはいきません！（誰かが書いちゃうのかもしれませんが・・・）

回答No.1

osamuy

まずは、グラフを実際に描いてみては。
そして、（１）で指示されている通り、他の頂点を求めましょう。グラフがあるから、立てた式を検証する事ができます。
各頂点の位置が既に求められているので、長方形の面積を表す式を得られるはずです。
それを適当に変形すれば、(x-a)^2+bの形にできて、aが(2)の解になりますね。