数学 図形？の問題

質問

つぎの問題の解法を教えてください。
△ABCにおいて、BC=3、AC=4、∠ACB=90°とし、辺AB上に点DをとりAD=xとする。
点DからBC、ACへ、それぞれDE、DFを下す。
１、長方形DECFも面積を変数xを使って表せ。
２、長方形DEFCの面積が最大になるときの面積とxの値の値を求めよ。

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

1

AB^2=3^2+4^2=5^2より

AB=5

AD=x、DF=ｐ、DE=ｑとすると

BD=5-x,

BC/DF=AB/AD

ゆえに

5/x=3/p

p=3x/5

AC/DE=AB/BD

ゆえに

4/q=5/(5-x)

q=4(5-x)/5

長方形DECFの面積　S=pq=12x(5-x)/25

2

S=(12/25)[x(5-x)]=(12/25)[-x^2+5x]=(12/25)[25/4-(x-5/2)^2]

x=5/2のとき、つまりDがABの中点に来たとき、Sは最大値(12/25)（25/4)=3をとる。

回答No.2

noname#190065

図形の面積を求める問題では、直接公式を使って求めるか、差（図形から図形を引く）か和（図形と図形を足す）かで求めます。
(1)この問題では、xの混じった比を扱うのが大変ですが、辺DEと辺DFを三角形と平行線の比(あるいは相似)を使うと求められます。
(2)長方形の面積がxの２次関数として表せてますから、完全平方形を作れば判りますね。