関数と最大値の問題について

質問

分からない問題がありました。

・直角三角形ABCがあり、斜辺AB上点Pから辺AC,BCに垂線を引き、その交点をそれぞれQ,Rとする。
AP=Xとして、長方形PQCRの面積をSとする。また、AB=5,AC=4とする。

(1)　Sの最大値とそのときのXの値を求めよ。

この問題では、解答は X=5/2のとき、最大値が3　なのですが、
どうしてこのような解答になるのでしょうか？
ちなみに、面積Sは、Xの関数で　－12/25x^2＋12/5x　と表されています。

回答No.2

noname#102048 · ベストアンサー

AP=xから、BP=5-x
また、AB=5,AC=4より、BC=3
ここで、△ABC∽△APQ∽△PBRより、
相似比を使って、PQ=(3/5)x,PR=(20-4x)/5
S=PQ×PR=(－12/25)x^2＋(12/5)x=(-12/25)(x-5/2)^2+3
よって、最大値3(x=5/2のとき)

お礼

よく分かりました！
ありがとうございます。

どうやら平方完成の仕方が間違っていたようです。

回答No.3

oknuukob

AB=5,AC=4なら三平方の定理よりBC=３だよね。いま三角形APQと三角形PRBと三角形ABCはみんな３：４：５の相似だから、

PQ=３x/５
RC=4(5-x)/5だよね
（０≦ｘ≦５）

S=PQ＊PRより

S=12（5x－x^2）/25

より0≦x≦5で最大となるSは5x－x^2の部分を平方完成して、
-(x-5/2)^2+25/4となるのでx=5/2のときに最大値じゃないでしょうか？
そしてそのときのSは
S=12（5x－x^2）/25に代入して、３じゃね？

お礼

なるほど！
そういった平方完成の方法もあったんですね。

ありがとうございました。

回答No.1

c_850871

丸投げはいけません．
もう少し考えられてから補足に何が分からないのか書いてください．

お礼

どうもすみません。

補足をつけようとは思ったのですが、
どうにも自分が理解できない場所の説明をするには少々ややこしすぎると判断したため、省略しました。