関数の問題を教えてください

質問

さほど難しい問題とは思えないのですが
現役を離れて、勘も働かなくなってしまいました

１辺がaの正方形の四隅を切り落として箱を作るとき
箱の容積を最大にするためには、四隅から１辺が
いくらの正方形を切り落としたらよいか

という問題です
社員研修の問題です。学生時代の参考書も手元になく
困っています。よろしくお願いします。

回答No.2

Freeuser · ベストアンサー

正方形の一辺がxの正方形を切り落とすと考えるとすると、
箱の高さは x
底面の正方形の一辺の長さは a-2x

もちろん、0 < x < a/2 です。

したがって、
箱の容積Vは V = x * (a-2x)^2 = 4x^3 - 4ax^2 + a^2x で表される。
これを最大化するためには。
一回微分すると
dV/dx = 12x^2 - 8ax + a^2
= (6x-a)(2x-a)
dV/dx = 0 となるのは x = a/6, a/2

増減表を書いてみればわかりますが、Vの値は、
0 < x < a/6 で単調増加
a/6 < x < a/2 で単調減少。
x=a/6 で 箱の容積Vの値は最大になります。

お礼

よく分かりました
ありがとうございました！

回答No.1

kyanaumi

切り落とす正方形の一辺の長さをｂとしたときの図を描いてみてください。
それで箱を作るとすると、底面積は
(a-2b)×(a-2b)
です。高さは
ｂ
です。だから体積は
S＝b(a-2b)^2
ただし、ｂ＝0～a/2
この範囲でｂについての3次式を解けばいいわけです。
上の式よりS-ｂグラフを書きｂ＝0～a/2の範囲での最大点を求めれる。
S＝b(a-2b)^2から明らかなようにｂ=0.a/2でｂ軸と交わる。さらにｂ=a/2で重解を持つからｂ=a/2でｂ軸と接することがわかります。
となるとグラフのパターンは2通りしかないですよね？実際書いてみるとわかると思います。ｂ^3の係数がプラスよりグラフの形はわかると知っていれば話は早いが・・・。実際にｂ=0～a/2の間の適当な数値を入れてみるとＳは正の値を取ることよりグラフの形はわかる。
つまり、ｂ＝0～a/2の間に極値をもち、それが最大になることがわかったので、ｂがいくつのときに極値を持つかわかれば問題は解決だ。
そこで微分をして、ゼロになったら、傾きがゼロって事だから、そこが極値になるってことを思い出してほしい。
実際微分してみると(計算略)
Ｓ’=(6b-a)(2b-1)
となり、ｂ=a/6,a/2のとき極値を取ることがわかる。
0<b<a/2だから、ｂ=a/2は取れない。
以上より、ｂ=a/6のとき最大値をとる。
最大値は
Ｓ=2/27・a^3

お礼

よくわかりました
どうもありがとうございました