図形と三角関数の問題

質問

三角形ABCはAB=AC=1を満たす二等辺三角形である。さらに、正方形PQRSは辺PQが辺BC上にあり、頂点R、Sがそれぞれ辺AC、AB上にある。

（1）∠Ｂ=θとする。正方形PQRSの一辺の長さをθを用いて表せ。

（２）正方形PQRSの一辺の長さが最大になるような辺BCの長さを求めよ。

自分なりに解いてみて、
（1）はBS=xとして、
BC=xcosθ＋xsinθ＋xcosθ=2cosθ
を解いてxを求め、それから
xsinθ（一辺の長さ）=sin2θ/2cosθ＋sinθ
となったのですが、答えは合ってるでしょうか？
または、答えの出し方におかしな点はありませんか？

また（2）は（1）の答えの最大値を求め、そこからθを求め、BC=2cosθに代入しようとしたのですが、
（1）の増減表使おうとしたり、式の整理をしようとしたのですが、うまくまとめられませんでした。
（2）の解答及び解き方もお願いしたいです。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(1)は合っています。

(2)は、微分を使って極値を求めましょう。

sin2θ/(2cosθ＋sinθ)　を微分してもいいですが、
sin2θ/(2cosθ＋sinθ)=1/(1/sinθ＋1/(2cosθ))
であり、1/sinθ＋1/(2cosθ)の最小値を求めることと同じなので、これを微分して、
(1/sinθ＋1/(2cosθ))'=-cosθ/sin^2θ＋sinθ/(2cos^2θ)=0
より、
tan^3θ=2
tanθ=2^(1/3)
cosθ=1/√(1+2^(2/3))

BC=2/√(1+2^(2/3))

お礼

ありがとうございます。

言われた通り計算して答えを出してみたいと思います。