図形の最大値について

質問

次の問題がわかりません。解答をお願いします。 たて１，よこ√２の辺をもつ長方形がある。この長方形の四隅から同じ大きさの正方形を切り取って，蓋のない箱をつくりたい。箱の体積が最大になるのは切り取る正方形の1辺の長さがいくらのときか。

回答No.2

eco1900

今更ですが、すいません、最後の「答えの形」として示した部分は間違っている可能性が出てきました。

本当にお騒がせしてしまって申し訳ありませんでした。

回答No.1

eco1900

イメージして欲しいために画像も添付しておきますね。
（＊見づらい時は画像を「右クリック→拡大」で見てくださいね。）

問題文から【画像】の「あ→い→う」と想像してください。

＊切り取る四隅の正方形の一辺を「x」とします。
　→この「x」には自動的に制限範囲が付きますね。
　→「x」って「切り取る長さ」なので、残りの長さが０や負になってはしまっては箱は作れませんよね。
　　・・・だから、次のように不等式を使って制限範囲を決めておきます。

・横についての制限は→　０＜√２－２x＜√２
　これを解いて　→　０＜x＜√２/２

・縦についての制限は→　０＜１－２x＜１
　これを解いて　→　０＜x＜1/2

この二つの共通範囲を考えて→　０＜x＜1/2　（＊）・・・これで「制限範囲」の準備は完了^^v。

本題に戻って最終的に「う」の立体の体積が必要なので・・・
　その体積V(x)として「xの関数」として表します。（＊直方体の体積＝縦×横×高さ）

　　V(x)＝x(√2－2x)(1－2x)＝x(2x－√2)(2x－1)

＊ここからは・・・近道の手法もありますが、あえて地道に以下（え）～（か）の順をたどりながら頑張ってみてください^^v。

　（え)　xについて微分します。
　（お)　準備しておいた(＊)に気を付けて増減表を書きます。
　（か)　「グラフ概形」を書いて最大値を求めていきます。

　もしも手順（え)～(か）の中で、また分からなければ補足質問してくださいね。

　　→一応、答えの形としては次のようになりましたよ。
　　　　「x＝●/●の時、最大で（●√●－●）/16」→以上より、切り取る正方形の一辺は「●/●」

　　　・・・では、頑張ってくださいね^^v。