極限値について

質問

問題で１辺が１２ｃｍの正方形の厚紙がある。その４すみから、１辺がＸｃｍの合同な正方形を切り取りとり、残りを折り曲げてふたの無い箱を作る。この箱の容積を最大にするにはＸの値をいくらにすればよか。式にすると　Ｙ＝Ｘ（１２―２Ｘ）２乗＝４（Ｘ＾３乗ー１２Ｘ²乗＋３６ｘ）Ｙ’＝４（３Ｘ²乗ー２４Ｘ＋３６）＝１２（Ｘ²乗ー８ⅹ＋１２）＝１２（ⅹ－２）（ｘ－６）　Ｙ’＝０となる値は　Ｘ＝２、６となり　０＜ⅹ＜６の範囲で増減表を作るのに　極大の出し方が解りません。この場合のｆ（Ｘ）は　１２８になると本に書いてあるのですが　どれに当てはめれば１２８の極大になりますか？　教えてください…サッパリ　解りません　　長くて　すいません

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

そこまでできていれば、あと一息ですよ！

Ｘの２乗は、Ｘ^2　で表します。（３乗も同様）

Y' =12(x-2)(x-6) で、x=2,6 で極値をとります。
１辺12cmの正方形から箱を作るので、切り取る部分の正方形の１辺の長さは元の半分6cm未満でなければならない。
なので、0＜x＜6 なんですね。
あとは、定義域の端である、X=0,X=6と極値を取るX=2,X=6（今回はたまたまX=6が共通）のときのYの値を調べて増減を考えればいいのです。
Y=f(x)=X(12-2x)^2とすると
f(0)=0(12-2・0)^2 =0
f(2)=2(12-2・2)^2 = 2・8^2 =128
f(6)=6(12-2・6)^2 =0
ですから、増減表を書くと

x　0　　　 2 　　　6
y　0　↑　128　↓　0

となり、x=2 で極大ということが分かります。

お礼

早くの解答　ありがとう御座いました。　とても　分かりやすく理解できました。同様の問題もこれで　解く事ができます。ほんとにありがとうございました。

回答No.3

osumitan

f(x)=x(12-2x)^2としたとき、f'(x)=0となる点が極大／極小です。
f(x)のグラフを考えたとき、f'(x)はxにおけるf(x)の傾きですから、
f'(x)=0となる点が極大／極小と考えられます。

以下、計算をすると、

f(x)
=x(12-2x)^2
=4x^3-48x^2+144x

f'(x)
=12x^2-96x+144=0
x^2-8x+12=0
(x-2)(x-6)=0
x=2,6

となり、x=2とx=6の点が極大／極小であることがわかります。

また、極大／極小の前後の点を任意に抽出すると
f'(1)=60>0
f'(4)=-48<0
f'(8)=144>0
のようになるので、x=2に向かって右肩上がり、x=2からx=6の間で右肩下がり、
再びx=6を越えて右肩上がりという傾きを示すことがわかるので、
x=2が極大、x=6が極小であることもわかります。

回答No.1

Kurouto

え？普通に考えて、３Ｃｍの正方形をきりとんじゃないの？