直方体の容積が最大になるときについて教えてください

質問

縦20cm、横32cmの長方形から同じ大きさの正方形を切り取り、残りで直方体の容器を作る。
その容積を最大にするには切り取る正方形の一辺をいくらにすればいいか。
また、その時の容積はいくらか。

この問題はどのように解けばよいのでしょうか。
回答よろしくお願い致します。

回答No.3

B-juggler · ベストアンサー

こんばんは。

正方形を抜き出して、それで立方体を作るのではないんだね。

これは結構ややこしいかもしれないね＾＾；

ヒントだけね。　丸投げは答えだけ知っていてもしょうがないからね。

切り取る正方形の一辺を　ｘ　としておくと、

底面の面積は　（３２－２ｘ）（２０－２ｘ）

折れ曲がって立ち上がるのが４箇所あるけど、それぞれ

（３２－ｘ）×　ｘ　が２枚　（図中　青）

（２０－ｘ）×　ｘ　が２枚　（図中　赤）

あっ、当然だけど　０＜ｘ＜１０ね。

底面積　×　高さ　が　容積になるのはいいかな？

高さは　ｘ　ですね。

と、ｘの方程式がでてきます。

後は　０＜ｘ＜１０　に対して　容積の最大値　を

求めればいいわけです。

計算はそんなに苦しくないから、がんばって。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)　下手な絵ですみません。

お礼

わざわざ絵まで描いてくださってありがとうございます。
おかげで問題の意味をようやく理解することができました。

計算してみたところ、
正方形の一辺　4cm
容積　1152cm^2
になりましたがこれであっていますでしょうか？＞＜
自信がないので確認していただけると幸いです。

補足

お礼の修正

容積の単位
×　cm^2　→　○　cm^3

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．３です。　こんばんは。

微分した二次方程式の、因数分解が、一瞬迷うね。

ｘ＝４、（４０／３）　のとき極値。

お見事です。　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ　それであってますよ＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

あっていて安心しました。

答えの確認をしてくださってありがとうございます。

回答No.2

asuncion

切り取る正方形の一辺をxセンチとします。このとき、0<x<10です。
正方形を切り取った後の直方体の底辺は、
縦：20-2x
横：32-2x
また、直方体の高さはxです。
よって、直方体の体積は(20-2x)(32-2x)x=4x^3-104x^2+640x
というxの3次式で表わせます。
つまり、この問題は、
0<x<10
という条件下で
4x^3-104x^2+640x
の最大値とそのときのxを求める、という問題に帰着します。
後は、ご自分で考えてみてください。

お礼

参考になりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

noname#157574

数学IIの教科書を読みましょう。
終了