図形の問題

質問

1辺の長さaの正方形に内接する最大の正三角形の面積を求めよ。
どう考えるのか全く分かりません。分かる方宜しくお願いします。

回答No.2

noname#101466

正三角形の底辺が正方形の一辺と重なっている時、
底辺と一辺のなす角は0である。
正三角形の左の頂点を正方形の左下の頂点に合わせ、
正三角形を左に回転させ、その増す角度に対して
三角形の底辺の長さがどのように変わるかを定式化
する。
傾きの角度がθのとき、正方形の左側の辺と正三角形の
なす角は、(π/2)-{θ+(π/3)}=(π/6)-θ、であり、
この角度が0になる時は、正方形の左側の辺が
正三角形の底辺と重なるので、θは(π/6)までとする。

左側にあり回転の中心となる正三角形の頂点をO、
右側にある頂点をP、もう一つの頂点をQとする。
それぞれの座標は、正方形の一辺の長さを1とすると
OP=1/cosθ、なので
P(1,tanθ)、
Q[cos{θ+(π/3)}/cosθ,sin{θ+(π/3)}/cosθ]

正三角形は、正方形の中に入らなければならないので、
sin{θ+(π/3)}/cosθ≦1
最大の正三角形は、上の式の等号を満たすものである。
つまり、
sin{θ+(π/3)}=cosθ
sinθ･cos(π/3)+sin(π/3)･cosθ=cosθ
sinθ-{2-(√3)}･cosθ=0
《√[1^2+{2-(√3)}^2]》･sin(θ+α)=0
ただし、tanα=-{2-(√3)}/1

これから、θ+α=0、つまり、θ=-αが、正三角形を
最大にする時であることになる。

θ=-α=arctan{2-(√3)}=π/12=15°
このとき、
(π/6)-θ=π/12、

正三角形の一辺の長さが1のとき、面積は、(√3)/4
今、正三角形の一辺の長さは、
1/cos(π/12)=√[2/{1+(√3)/2}]=2/√{2+(√3)}
≒1.035
従って、面積は、
(√3)/4･[2/√{2+(√3)}]^2=(√3)/{2+(√3)}
=(√3){2-(√3)}/(4-3)=2√3-3≒0.464

お礼

よくわかりました！自分でも解き直しをして納得です！

回答No.1

debut

おそらく、正三角形の頂点の１つが正方形の１つの頂点と一致し、
その頂点から引いた正方形の対角線について対称なときが最大に
なると思います。

座標にして説明しますが、
正方形の４つかどの座標を(0,0)(a,0)(a,a)(0,a)とします。
正三角形の１つの頂点が(0,0)にあり、もう１つの頂点が(a,b)
にあるとき、正三角形は(0,0)と(a,a)を結ぶ線に対称なので、
正三角形の１辺は√(a^2+b^2)、√{2(a-b)^2}と２種類の直角三角形
で三平方の定理から表すことができます。
√(a^2+b^2)＝√{2(a-b)^2}
これをbについて解けば、b=(2±√3)aですが、(2+√3)aの方は
適しません。
b=(2-√3)aを√(a^2+b^2)に入れて、１辺は{√(2-√3)}*2a
よって、正三角形の面積は(1/2)*1辺*1辺*sin60°から
(2√3-3)a^2　です。

お礼

お答えありがとうございます！答えはdebutさんのものであっているみたいです！