数学の質問です！！

質問

【問題】
中心をＯとする円Ｏがあり、その円上に2点Ｐ，Ｑが存在する。
ただし線分ＰＱは円Ｏの直径とは一致しない。

Ｐ，Ｑそれぞれを接点とするように円Ｏに接線をひき、２接線の交点をＲとする。
ここで線分ＲＯとＰＱの交点はＰＱの中点に一致し、線分ＲＯとＰＱは直交することを示してください。

直交する条件が与えられていれば、合同、相似などからいけそうでしたが…
どうやればいいのかわからなくなってしまいました。。

ご教授お願いいたします。

回答No.5

mister_moonlight

もちろん図形的に考えても良いんだが、この問題のbaseになっているのは　極と極線の問題。
点Ｒを極といい、直線ＰＱを極線という。それを使った回答をしよう。

円Ｏを　x＾2＋y＾2＝1.　半径は何でも良いんだが、1としても一般性を失わない。
Ｐ(a、b)、Ｑ(m、n)とすると、その点における円の接線は　各々　ax+by＝1、mx+ny＝1
これが　Ｒ(α、β)を通るから　aα+bβ＝1、mα+nβ＝1。
2点を通る直線は1本しかないから　これは　ＰとＱを通る直線が　αx＋βy＝1であることを示している。
この直線の傾きは　-α/β　であり　直線ＲＯの傾きは　β/αだから　傾きの積＝-1　だから直交している。

中点の方の証明は、2直線の交点を実際に求めて証明してもよいが、直線ＲＯと直線ＰＱの交点をＭとして、
△ＲＰＭと△ＲＱＭにおいて、ＰＲ＝ＲＱ、ＲＭは共通、∠ＰＭＲ＝∠ＱＭＲ＝90°からやっても良い。

回答No.4

ferien

＞【問題】
＞中心をＯとする円Ｏがあり、その円上に2点Ｐ，Ｑが存在する。
＞ただし線分ＰＱは円Ｏの直径とは一致しない。
＞Ｐ，Ｑそれぞれを接点とするように円Ｏに接線をひき、２接線の交点をＲとする。
＞ここで線分ＲＯとＰＱの交点はＰＱの中点に一致し、線分ＲＯとＰＱは直交する
＞ことを示してください
△ＯＰＲと△ＯＱＲとで、
ＰＲ，ＱＲは円Ｏの接線だから、
∠ＯＰＲ＝∠ＯＱＲ＝９０度
ＯＲは共通
円Ｏの半径だから、
ＯＰ＝ＯＱ
直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいから、
△ＯＰＲ≡△ＯＱＲ
よって、∠ＰＯＲ＝∠ＱＯＲ　……（１）

ＲＯとＰＱの交点をＭとする。
△ＯＰＱで、
ＯＰ＝ＯＱだから、△ＯＰＱは二等辺三角形
（１）より、ＯＭは∠ＰＯＱの二等分線だから、
ＯＭは、底辺ＰＱの垂直二等分線である。（二等辺三角形の性質より）
だから、ＰＭ＝ＱＭ，ＯＭ⊥ＰＱより、
ＭはＰＱの中点で、ＭはＲＯ上にあるからＲＯ⊥ＰＱ
よって、線分ＲＯとＰＱの交点はＰＱの中点に一致し、線分ＲＯとＰＱは直交する。、

図を描いて確認してみて下さい。

回答No.3

suko22

△OPRと△OQPにおいて、
OP=OQ（円の半径）
ORは共通
∠OPR＝∠OQR＝90°（円と接線の性質）
これらの条件より直角三角形の斜辺とその他の一辺がそれぞれ等しいから、
△OPR≡△OQR
よって、∠ORP＝∠ORQ、PR=PQ・・・i

ここで線分ROと線分PQの交点をMとすると、
△RMPと△RMQにおいて
RM共通
そしてiの条件より2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△RMP≡△RMQ
よって、∠RMP=∠RMQ、
　　　　　PM=QM・・・ii
また、∠PMQ＝180°だから∠RMP=∠RMQ＝90°・・・iii

iiより線分ROと線分PQの交点は線分PQの中点になり、
iiiより線分ROと線分PQは直交する。

こんなんでどうでしょう？

回答No.2

aries_1

PQとORの交点をSとする

条件より∠OPQ=∠OPR=90゜
またORは共通
OPとOQは円の半径なので、OP=OQ…(1)
以上より△OPR≡△OQRなので、∠QOS=∠POS…(2)

また、△OSQと△OSPにおいてOSは共通
これと(1)(2)より、この二つの三角形は合同なので、PS=SQかつ∠OSQ=∠OSP=90゜

回答No.1

MarcoRossiItaly

1.半径と接線は直交
2.直角三角形の合同条件、斜辺と他の1辺
3.以上により2つの中心角が等しいことになるので、いろんなところの三角形が合同