軌跡の問題について

質問

軌跡の問題で困っているものがあります。

放物線y=x^2/4上の点Q、Rは、それぞれその点におけるこの放物線の接線が直交するように動くものとする。
この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとしたとき、次の問いに答えよ。

(1)点ｐの軌跡の方程式
(2)点Mの軌跡の方程式

点QとRをそれぞれ（a,a^2/4）と(b,b^2/4)として接線をだして求めて行くようですが、良く分かりません。

答えは(1)y=-1 (2)y=x^2/2+1です。

解法が分かる方、解説お願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

＞＞＞
実はａ／２　×　ｂ／２　＝　－１までは考えていたのですが、
この値をどのように使っていいのかが分からない無いのです。

そういうことでしたら、最初から書いてほしかったです。

ａ／２　×　ｂ／２　＝　－１
なので、
ｂ　＝　－４／ａ

Ｒを通る接線の方程式
ｙ　－　ｂ^2／４　＝　ｂ／２・（ｘ　－　ｂ）
に、　ｂ　＝　－４／ａ　を代入すれば、ｂが消えます。

よって、
Ｑを通る接線の方程式との連立方程式を解けば、
２つの接線の交点の座標が求まります。

本件、私からの回答は、これで最後とさせてください。

お礼

すいません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

ab＝-4　‥‥(1)　とここまで来たなら、後は簡単。

各々の接線の方程式は、y＝（a/2）*（x-a）＋a＾2/4 ‥‥(2)、y＝（b/2）*（x-b）＋b＾2/4　‥‥(3).
(2)と(3)を連立すると、Ｐ（α、β）も求まる。
結果はa≠bから、2α＝a＋b、4β＝ab　となる。4β＝ab＝-4　から　流通座標に変換して、y＝-1　。

又、Ｍ（Ｘ、Ｙ）とすると、2Ｘ＝a＋b、2Ｙ＝（a＾2＋b＾2）/4。
従って、8Ｙ＝（a＋b）＾2-2ab＝（2Ｘ）＾2＋8。
整理すると、2Ｙ＝Ｘ＾2＋2。同じく、流通座標に変換すると、2y＝x＾2＋2

軌跡の方程式を求めよ、だからこれで良いが、“軌跡を求めよ”ならば、軌跡の限界を求めなければならない。（但し、結果的には不要だが）

回答No.1

sanori

こんばんは。

ｙ’＝　ｘ／２

ｘ＝ａ　における接線の傾きは、ｙ’（ａ）です。

よって、
Ｑを通る接線の方程式は、
ｙ　－　ａ^2／４　＝　ａ／２・（ｘ　－　ａ）
Ｒを通る接線の方程式は、
ｙ　－　ｂ^2／４　＝　ｂ／２・（ｘ　－　ｂ）
となります。

これらは直交するので、傾き同士をかければ　－１　です。
つまり、
ａ／２　×　ｂ／２　＝　－１
です。

たぶん、ここまで来れば、先に進めるのでは？

がんばってください。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

補足

ご回答ありがとうございます。
実はａ／２　×　ｂ／２　＝　－１までは考えていたのですが、
この値をどのように使っていいのかが分からない無いのです。