数学の問題なんですが

質問

放物線C:y=x^2の上に2点A(1,1),
P(a,a^2) (a<1)をとる
AにおけるCの接線とPにおけるCの接線との交点をQとする
Qのx座標=1/2+(1/2)aである
線分APの中点とQを通る直線がCと交わる点をRとす る
このときの△APRの面積を求めるという問題なんですがどのように求めたらいいんでしょうか？
計算過程を教えてください。

回答No.4

spring135 · ベストアンサー

各店の座標を求め、後は３角形の面積の式に代入すればよい。

A(1,1),Cの傾きy'＝2
P(a,a^2),Cの傾きy'＝2a
APの中点M（(a+1)/2,(a^2+1)/2)

点Aでの接線

y-1=2(x-1)

y=2x-1 (1)

点Pでの接線

y-a^2=2a(x-a)

y=2ax-a^2 (2)

(1),(2)の交点Q

Q((a+1)/2,a)

MとQのｘ座標は同じで(a+1)/2

よって

R((a+1)/2,(a+1)^2/4)

一般に３点(xa,ya)(xb,yb),(xc,yc)

でできる３角形の面積は

[xa(yb-yc)+xb(yc-ya)+xc(ya-yb)]/2

これを用いて

△APRの面積S

S=(1-a)^3/8

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.3

soixante

計算過程ということなのでとりあえず分かることから順番に。

f(x)=x^2 とする。
f'(x)=2x

A(1,1)
P(a,a^2) (a<1)

Aにおける接線は？
f'(1)=2
y-1=2(x-1)
y=2x-1 だと分かる。

Pにおける接線は？
上記と同様に。
y=2ax-a^2

Qの座標は？
上の2つの接線の交点として計算してもいいですが、親切なことに問題文に
x座標も書いてあります。
y=2x-1 に代入すれば、y=a
Qの座標は、Q( (1+a)/2 , a)

線分ＡＰの中点は？
A(1,1)、P(a,a^2)であるから、この中点をＭとすれば、
M( (1+a)/2, (1+a^2)/2 )

中点ＭとＱを通る直線は？
上の両方の座標から、x= (1+a)/2 と分かる。

ここからＲも分かる。　R( (1+a)/2, (1+a)^2/4 )

ここまでグラフが描ければ△ＡＰＲの面積の出し方は見えてきますよね？

ＭＲの長さは分かるはず。高さも。

お礼

回答ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.2

yyssaa

＞線分APの中点のx座標は(a+1)/2だからQのx座標と同じなので
Rのx座標も(a+1)/2。Rのy座標は(a+1)^2/4。
3点A、P、Rの座標が全て分かったのであとは三角形と矩形の面積
計算で答えが出ます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

図を描きましょう。

お礼

回答ありがとうございました。