数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

185

放物線y=x^2/4上の点Q,Rは、それぞれの点におけるこの放物線の
接線が直交するように動くものとする。
この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとするとき、次の問いに答えよ。

(1)点Pの軌跡を表す方程式を求めよ。
(2)点Mの軌跡を表す方程式を求めよ。

解答
(1)y=-1
(2)y=x^2/2+1

解法を詳しく教えてください。
よろしくおねがいします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

放物線y=x^2/4上の点Q,Rは、それぞれの点におけるこの放物線の
接線が直交するように動くものとする。
＞この2本の接線の交点をP、線分QRの中点をMとするとき、次の問いに答えよ。

Ｑ（ａ，ａ^2／４），Ｒ（ｂ，ｂ^2／４）とする。
Ｑにおける接線
ｙ'＝ｘ／２より、傾き＝ａ／２
接線ｙ－ａ^2／４＝（ａ／２）（ｘ－ａ）…（１）
Ｒ仁おける接線
傾き＝ｂ／２
接線ｙ－ｂ^2／４＝（ｂ／２）（ｘ－ｂ）…（２）
接線が直交するようにだから、（ａ／２）×（ｂ／２）＝－１より、ａｂ＝－４　…（３）

＞(1)点Pの軌跡を表す方程式を求めよ。
交点Ｐは、（１）（２）より連立させて解くと、
ｘ座標　ｘ＝（１／２）（ａ＋ｂ）　
ｙ座標　ｙ＝（１／４）ａｂ＝（１／４）×（－４）＝－１　（（３）より）
ｘの値に関わらず、ｙ＝－１
よって、軌跡はｙ＝－１

＞(2)点Mの軌跡を表す方程式を求めよ。
中点Ｍは、
ｘ座標　ｘ＝（１／２）（ａ＋ｂ）より、２ｘ＝ａ＋ｂ
ｙ座標　ｙ＝（１／２）×（１／４）（ａ^2＋ｂ^2）＝（１／８）（ａ^2＋ｂ^2）
ａ、ｂを消去すると
ｙ＝（１／８）｛（ａ＋ｂ）^2－２ａｂ｝
　＝（１／８）｛（２ｘ）^2－２×（－４）｝（３）より
　＝（１／２）ｘ^2＋１
よって、軌跡は　ｙ＝（１／２）ｘ^2＋１

でどうでしょうか？

お礼

とても分かりやすい解答をいつもありがとうございます。
本当にありがたいです。

よければ他のもよろしくお願いします！