数学の問題です！

質問

xyz空間においてP(0,0,1)、Q(3cosθ,3sinθ,1)を両端とする長さ3の線分PQを考える。ただし、0≦θ<π/2の範囲である。

(1)PとQの中点からx軸までの距離を求めよ。

(2)線分PQをx軸を中心に1回転してできる曲面とx=0、x=3sinθの2平面で囲まれる部分の体積を求めよ。

(3)Vの最大値を求めよ。

よろしくお願いします＞＜

回答No.1

think2nd · ベストアンサー

関数に関する、いい問題ですね。)^o^(
基礎知識を正しく理解した上の、素直な応用問題です。最初の一歩が理解できると、単純にゴールに行きつけます。そのためには、図を正しく書いてimageがPictureできることです。θは、x軸と"線分PQをxy平面に正射影した線分P'Q'"とのなす角です。(ちなみに、PQ=P'Q'=3、Q'(3cosθ、3sinθ、0),　点Qからxy平面に垂直に(z軸に平行)引いた線がxy平面に交わる点をQ'を求めようとする動作を正射影と言っています。云わば影ですよね。)
Q'をx軸に正射影した点Q''の座標はQ''(3cosθ,0,0)です。
線分PQ上の任意の点Tの座標はT(x,xtanθ,1)　(0<=x<=3cosθ)と置けます。Tをxy平面に正射影した点T'の座標はT'(x,xtanθ,0)ですし、また　x軸に正射影した点T''の座標はT''(x,0,0)です。しかも⊿T''T'Tはいつも直角三角形です。
(1)　Mが線分PQの中点ですから、TがMと一致します。OQ''の中点にT''が来ますから、
x=(3cosθ)/2です。x軸とMとの距離T''MはT''M=√(x^2tan^2(θ)+1)=(1/2)√(9sin^2(θ)+4)
(2)　T''Tがx軸の周りを回転しますから、その円の半径r(x)はr(x)=√(x^2tan^2(θ)+1)ですから、求める体積VはV=π∫[x=0~3cosθ]r^2(x)dx=-3π(3cos^3(θ)-4cosθ)
(3)　cosθ=tと置いて(0<=t<=1)　f(t)=-9t^3+12tの最大値を求めるには与式を微分して増減表を書けばt=2/3と求まりますので
、求める体積はV=f(2/3)π=16/3でしょうか?

回答No.2

info22_

(1)
中点M((3/2)cosθ,(3/2)cosθ,1)
中点Mからx軸までの距離d=√{(9/4)(cosθ)^2+1}

(2)
回転体の方程式：r^2=y^2+z^2=1+x^2{(1/(cos(s))^2)-1}
回転体の体積公式より
V=π∫[0,3cosθ] r^2 dx
=π∫[0,3cosθ] ((x^2){(1/(cosθ)^2)-1}+1) dx
=3πcosθ{4-3(cosθ)^2}

(3)
dV/dθ=3πsinθ(3cosθ+2)(3cosθ-2)
0≦θ<π/2の範囲で dV/dθ=0を解くとθ=0,arccos(2/3)
θ=arccos(2/3)のとき、V(max)=16π/3